《高等数学》课程教学资源：第八章 多元函数微分法及其应用（8.7）方向导数与梯度

§87方向导数与梯度 、方向导数 二、梯度 自

一、方向导数 二、梯度 §8.7 方向导数与梯度 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、方向导数 设函数=(x,y)在点Px02y0)的某一邻域U(P内有定义, 是xOy平面上以Px,y0)为始点的一条射线,与同方向的单 位向量为er=(cos,cos) 今方向导数 取P(x0+osax,y+1os月)∈U(P,如果极限 f(o+cosa, yo +tcos B)-f(xo, yo) ly 提示: 即极限mnf(P)-f(6 PPl0* PP O 返回 页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、方向导数 下页 设函数z=f(x, y)在点P0 (x0 , y0 )的某一邻域U(P0 )内有定义, l是xOy平面上以P0 (x0 , y0 )为始点的一条射线, 与l同方向的单 位向量为el=(cos, cos) t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − → +   提示 | | ( ) ( ) lim 0 0 | | 0 0 PP f P f P PP − → + 即极限  取P(x0+tcos, y0+tcos)U(P0 ), 如果极限 ❖方向导数

、方向导数 设函数=(x,y)在点Px02y0)的某一邻域U(P内有定义, 是xOy平面上以Px,y0)为始点的一条射线,与同方向的单 位向量为er=(cos,cos) 今方向导数 取P(x0+osax,y+1os月)∈U(P,如果极限 m f(xo+tosa, yo +tcos B)-f(xo, yo)y t->0+ 存在,则称此极限为函数fx,y)在点P0沿方 向的方向导数,记为 (x02y0) 返回 页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、方向导数 下页 设函数z=f(x, y)在点P0 (x0 , y0 )的某一邻域U(P0 )内有定义, l是xOy平面上以P0 (x0 , y0 )为始点的一条射线, 与l同方向的单 位向量为el=(cos, cos) 存在, 则称此极限为函数f(x, y)在点P0沿方 向l的方向导数, 记为 ( , ) 0 0 l x y f    t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − → +   取P(x0+tcos, y0+tcos)U(P0 ), 如果极限 ❖方向导数

、方向导数 设函数=(x,y)在点Px02y0)的某一邻域U(P内有定义, 是xOy平面上以Px,y0)为始点的一条射线,与同方向的单 位向量为er=(cos,cos) 今方向导数 f(o+cosa, yo +tcos B)-f(o, yo) x02yo)t->0+ y 方向导数就是函数f(x,y)在点Px02y) 处沿方向的变化率 返回 页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、方向导数 下页 设函数z=f(x, y)在点P0 (x0 , y0 )的某一邻域U(P0 )内有定义, l是xOy平面上以P0 (x0 , y0 )为始点的一条射线, 与l同方向的单 位向量为el=(cos, cos) ( , ) 0 0 l x y f   t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − = → +    ❖方向导数 方向导数就是函数f(x, y)在点P0 (x0 , y0 ) 处沿方向l的变化率

、方向导数 设函数=(x,y)在点Px02y0)的某一邻域U(P内有定义, 是xOy平面上以Px,y0)为始点的一条射线,与同方向的单 位向量为er=(cos,cos) 今方向导数 f(o+cosa, yo +tcos B)-f(o, yo) x02yo)t->0+ 令定理(方向导数的计算) 如果函数=fx,y)在点PQ(x02y)可微分,那么函数在该点 沿任一方向l(e=(cos,cos)的方向导数都存在,且有 f(o, yo)cosa+y(ro, yo)cos B>>> 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、方向导数 设函数z=f(x, y)在点P0 (x0 , y0 )的某一邻域U(P0 )内有定义, l是xOy平面上以P0 (x0 , y0 )为始点的一条射线, 与l同方向的单 位向量为el=(cos, cos) ( , ) 0 0 l x y f   t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − = → +    ❖方向导数 如果函数z=f(x, y)在点P0 (x0 , y0 )可微分, 那么函数在该点 沿任一方向l (el=(cos, cos))的方向导数都存在, 且有 ❖定理(方向导数的计算) ( 0 , 0 )cos ( 0 , 0 )cos ( , ) 0 0 f x y f x y l f x y x y = +    下页 >>>

函数f(x,y)在点P沿方向(er=(cosa,cosB)的方向导数: f(xo, yo)cosa+f,(xo, yo)cos B 0 讨论: 函数f(x,y)在点P沿x轴正向和负向,沿y轴正向和负向的 方向导数如何? 提示: 沿x轴正向时,cosa=1,cosB=0, af of 沿x轴负向时,cosa-1,cos=0,y=9 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 沿 x 轴负向时, cos=−1, cos=0, x f l f   =−    讨论 函数f(x, y)在点P沿x轴正向和负向, 沿y轴正向和负向的 方向导数如何? 提示 下页 函数f(x, y)在点P0沿方向l (el=(cos, cos))的方向导数 ( 0 , 0 )cos ( 0 , 0 )cos ( , ) 0 0 f x y f x y l f x y x y = +    沿 x 轴正向时, cos=, cos=0, x f l f   =   

函数f(x,y)在点P沿方向(er=(cosa,cosB)的方向导数: f(xo, yo)cosa+f,(xo, yo)cos B 例1求函数=xe2在点P(1,0)处沿从点P到点Q(2,-1)的方 向的方向导数 解PQ=(-),与同向的单位向量为c=(1_1 因为函数可微分,且 e 2x 2 Ox|(10) ay(0) 所以所求方向导数为 1.+2(六) (1,0) 2 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 求函数z=xe2y在点P(1, 0)处沿从点P到点Q(2, −1)的方 向的方向导数 解 所以所求方向导数为 下页 函数f(x, y)在点P0沿方向l (el=(cos, cos))的方向导数 ( 0 , 0 )cos ( 0 , 0 )cos ( , ) 0 0 f x y f x y l f x y x y = +    解 → PQ=(1, −1), 与 l 同向的单位向量为 ) 2 1 , 2 1 el =( −  因为函数可微分, 且 1 (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z , 2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z , 2 2 ) 2 1 2 ( 2 1 1 (1,0) =  +  − =−   l z  解 → PQ=(1, −1), 与 l 同向的单位向量为 ) 2 1 , 2 1 el =( −  1 (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z , 2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z 1 , (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z , 2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z 1 , (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z , 2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z 1 , (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z , 2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z 1 , (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z , 2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z , 2 2 ) 2 1 2 ( 2 1 1 (1,0) =  +  − =−   l z  2 2 ) 2 1 2 ( 2 1 1 (1,0) =  +  − =−   l z 

(1,0) ∞〔2,-1 对于三元函数fx,y,2)来说,它在空间一点P0(x0,y0,=0)沿 er=(cosa,cosB,cosy的方向导数为 f(xo +cosa, yo +tcos B, =0+cosr)-f( m (xo,yo,=0)t->0+ 如果函数(x,y,z)在点(x,y,=0)可微分,则函数在该点沿 着方向er=(cosa,cosB,cosy)的方向导数为 =f(ro, yo, =0)cosa+f,(ro, yo, -o)cos B+f(o, yo, -o)cosy 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 对于三元函数f(x, y, z)来说, 它在空间一点P0 (x0 , y0 , z0 )沿 el=(cos , cos , cos)的方向导数为 如果函数f(x, y, z)在点(x0 , y0 , z0 )可微分, 则函数在该点沿 着方向el=(cos , cos , cos)的方向导数为  ( , , ) 0 0 0 l x y z f   t f x t y t z t f x y z t ( cos , cos , cos ) ( , , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 + + + − = → +     ( , , ) 0 0 0 l x y z f   ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x y z f x y z f x y z = x + y + z 

例2求(x,y,z)=xy+y2+x在点(1,1,2)沿方向的方向导数, 其中方向角分别为60°,45°,60° 解与l同向的单位向量为 e=(Ccos60°c0s45°c0s60°) 因为函数可微分,且 (1,1,2)=(y+=) (1,1,2 f(1,1,2)=(x+2),2)=3, f(1,1,2)=(y+x)1,1,2=2, 所以 +2 (5+32) a/(12) 2 自 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 求f(x, y, z)=xy+yz+zx在点(1, 1, 2)沿方向l的方向导数, 其中l的方向角分别为60, 45, 60 解 与l同向的单位向量为 ) 2 1 , 2 2 , 2 1 =(cos60 ,cos45 ,cos60)=( l e  因为函数可微分, 且 所以 (5 3 2) 2 1 2 1 2 2 2 3 2 1 3 (1,1,2) =  +  +  = +   l f (5 3 2)  2 1 2 1 2 2 2 3 2 1 3 (1,1,2) =  +  +  = +   l f (5 3 2)  2 1 2 1 2 2 2 3 2 1 3 (1,1,2) =  +  +  = +   l f  f x (1, 1, 2)=(y+z)| (1, 1, 2)=3, f y (1, 1, 2)=(x+z)| (1, 1, 2)=3, f z (1, 1, 2)=(y+x)| (1, 1, 2)=2, 首页

二、梯度 ☆梯度的定义 设函数=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点PQx2y)∈D,都可确定一个向量 f(o, yoi+yro, yo)j 这向量称为函数(x,y)在点P(xo2y)的梯度,记作 gradf(o,y) gradf(xo, yo=(xo, yo)i+,(o, yo) 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、梯度 ❖梯度的定义 下页 设函数z=f(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P0 (x0 , y0 )D, 都可确定一个向量 f x (x0 , y0 )i+f y (x0 , y0 )j, 这向量称为函数f(x, y)在点P0 (x0 , y0 )的梯度, 记作gradf(x0 , y0 ), 即 gradf(x0 , y0 )=f x (x0 , y0 )i+f y (x0 , y0 )j