《高等数学》课程教学资源：第七章 空间解析几何（7.5）曲面及其方程

§7.5曲面及其方程 曲面方程的概念 二、旋转曲面 、柱面 四、二次曲面 自

一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 §7. 5 曲面及其方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃 四、二次曲面

、曲面方程的概念 在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹 曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 x,y,z)=0 FO 有下述关系: S (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足x 方程F(x,y,z)=0, 那么,方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方 程F(x,y,z)=0的图形 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、曲面方程的概念 在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹. 那么, 方程F(x, y, z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方 程F(x, y, z)=0的图形. (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x, y, z)=0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足 方程F(x, y, z)=0, ❖曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)=0 有下述关系: 下页

例1建立球心在点M6(x0,y02=0)、半径为R的球面的方程 解设M(x,y,z)是球面上的任一点,那么 MOMER 即 (x-x)2+(y-y)2+(x-=0)2=R 或 (xx0)2+(y-y0)2+(2-20)2=R 因为球面上的点的坐标一定满足上 述方程,而不在球面上的点的坐标都不 满足这个方程,所以上述方程就是所求 的球面的方程 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 建立球心在点M0 (x0 , y0 , z0 )、半径为R的球面的方程. 解 设M(x, y, z)是球面上的任一点, 那么 |M0M|=R, 或 (x−x0 ) 2+(y−y0 ) 2+(z−z0 ) 2=R2 . 因为球面上的点的坐标一定满足上 述方程, 而不在球面上的点的坐标都不 满足这个方程, 所以上述方程就是所求 的球面的方程. 下页 即 x−x + y− y + z−z =R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( )

例2设有点4(1,2,3)和B(2,-1,4),求线段AB的垂直平分 面的方程 解由题意知道,所求的平面就是与A和B等距离的点的几 何轨迹 设M(x,y,)为所求平面上的任一点,则有 AMBM, 即 (x-1)2+(y-2)2+(2-3)2=√(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2 等式两边平方,然后化简得 2x-6y+2z-7=0 M 这就是所求的平面的方程 B A 首页上页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 设有点A(1, 2, 3)和B(2, −1, 4), 求线段AB的垂直平分 面的方程. 由题意知道, 所求的平面就是与A和B等距离的点的几 何轨迹. 设M(x, y, z)为所求平面上的任一点, 则有 |AM|=|BM|, 等式两边平方, 然后化简得 2x−6y+2z−7=0. 这就是所求的平面的方程. 下页 解 即 2 2 2 2 2 2 (x−1) +(y−2) +(z−3) = (x−2) +(y+1) +(z−4)

研究曲面的两个基本问题 (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程; (2)已知坐标x、y和间的一个方程时,研究这方程所表示 的曲面的形状 例3方程x2+y2+2-2x+4y0表示怎样的曲面? 解通过配方,原方程可以改写成 (x-1)2+(y+2)2+2=5 这是一个球面方程,球心在点M1-2,0)、半径为R=5 般地,三元二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+F2+G=0 的图形就是一个球面 直贝 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程; (2)已知坐标x、y和z间的一个方程时, 研究这方程所表示 的曲面的形状. ❖研究曲面的两个基本问题 通过配方, 原方程可以改写成 (x−1) 2+(y+2) 2+z 2=5. 一般地, 三元二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0 的图形就是一个球面. 首页 例3 方程x 2+y 2+z 2−2x+4y=0表示怎样的曲面？ 解 这是一个球面方程, 球心在点 (1, 2, 0) M0 − 、半径为 R= 5

二、旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的 曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫做旋转曲面的轴 设O平面上有一曲线C,它的方程为(y,z)=0.曲线C绕z 轴旋转一周得到一个旋转曲面 设M(x,y,z)为曲面上任一点,它是 曲线C上点M(0,y1,=1)绕z轴旋转而得 到的.因此有如下关系等式 M,(0y,21) f(02z)=0,z=1,n=√x2+y2, M(r, 2) 从而得f(±√x2+y2,z)=0, f(y,2)=0 这就是所求旋转曲面的方程 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的 曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面的轴. 设yOz平面上有一曲线C, 它的方程为f(y, z)=0. 曲线C绕z 轴旋转一周得到一个旋转曲面. 这就是所求旋转曲面的方程. 设M(x, y, z)为曲面上任一点, 它是 曲线C上点M1 (0, y1 , z1 )绕 z 轴旋转而得 到的. 因此有如下关系等式 下页 f (y1 , z1 )=0 , 1 z= z , 2 2 1 ( , ) 0 | y |= x +y , f y1 z1 = , 1 z= z , 2 2 1 ( , ) 0 | y |= x +y , f y1 z1 = , 1 z= z , 2 2 1 | y |= x +y , 从而得 ( , ) 0 2 2 f  x +y z =

二、旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的 曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫做旋转曲面的轴 设O平面上有一曲线C,它的方程为(y,z)=0.曲线C绕z 轴旋转一周得到一个旋转曲面 2 旋转曲面的方程为 f(+x2+y2,z)=0 C 提问: 曲线fy,z)=0绕轴旋转所成的旋 转曲面的方程是什么? 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 旋转曲面的方程为 下页 二、旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的 曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面的轴. 设yOz平面上有一曲线C, 它的方程为f(y, z)=0. 曲线C绕z 轴旋转一周得到一个旋转曲面. 提问: 曲线f(y, z)=0绕y轴旋转所成的旋 转曲面的方程是什么？ ( , ) 0 2 2 f  x +y z =

曲线f(y,z)=0绕z轴旋转所得到的旋转曲面的方程为 f(+√x2+y2,z)=0. 例4试建立顶点在坐标原点O,旋转轴为z轴,半顶角为a 的圆锥面的方程 解在坐标面yO内,与z轴夹角为a的直线的方程为 -cota, 2 将方程= yoto中的y改成±√x2+y2,得 10,%,2 z=±√x2+y2cota (x,y,2) 或 2 a-x 这就是所求的圆锥面的方程,其中a=cota 首页上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 将方程 z=ycot中的 y 改成 2 2  x +y , 得 例4 试建立顶点在坐标原点O, 旋转轴为z轴, 半顶角为 的圆锥面的方程. 解 在坐标面yOz内, 与z轴夹角为的直线的方程为 z=ycot, 或 z 2=a 2 (x 2+y 2 ), 这就是所求的圆锥面的方程, 其中a=cot . 下页 曲线f(y,z)=0绕 z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程为 ( , ) 0 2 2 f  x +y z = . cot 2 2 z= x +y

例5将aOx坐标面上的双曲线x2-=2 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程. m=1分别绕x轴和z 解绕x轴和z轴旋转所在的旋转曲面的方程分别为 y2+2 x2+ O 双叶旋转双曲面 单叶旋转双曲面 直贝 返回 下页结東铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 绕 x 轴和 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程分别为 双叶旋转双曲面 单叶旋转双曲面 首页 例 5 将 zOx 坐标面上的双曲线 1 2 2 2 2 − = c z a x 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 例5 1 2 2 2 2 2 = + − c y z a x , 1 2 2 2 2 2 − = + c z a x y 1 . 2 2 2 2 2 = + − c y z a x , 1 2 2 2 2 2 − = + c z a x y

柱面 例6方程x2+y2=R2表示怎样的曲面? 解在空间直角坐标系中,过xOy面上的圆x2+y2=R2作平行 于轴的直线l,则直线上的点都满足方程x2+y2=R2,这说明直 线l一定在x2+y2=R2表示的曲面上 因此这个曲面可以看成是由平行 于z轴的直线沿xO面上的圆x2+y2=R2 移动而形成的 x2+y2=R2 这曲面叫做圆柱面,xO面上的圆 x2+y2=R2叫做它的准线,这平行于轴的 直线叫做它的母线 首页上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、柱面 在空间直角坐标系中, 过xOy面上的圆x 2+y 2=R2作平行 于z轴的直线l, 则直线l上的点都满足方程x 2+y 2=R2 , 这说明直 线l 一定在x 2+y 2=R2表示的曲面上. 例6 方程x 2+y 2=R2表示怎样的曲面？ 因此这个曲面可以看成是由平行 于z轴的直线l沿xOy面上的圆x 2+y 2=R2 移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy面上的圆 x 2+y 2=R2叫做它的准线, 这平行于z轴的 直线l叫做它的母线. 下页 解