《高等数学》课程教学资源：第八章 多元函数微分法及其应用（8.6）多元函数微分学的几何应用

§8.6多元函数微分学的几何应用 、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 自

一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 §86 多元函数微分学的几何应用 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线r的参数方程为 x=(0(0),y=v(),=0(1), 这里假定o),v(1),(t)都在[a,B上可导 设=和=10+△分别对应于曲线上的 点Mx0,y0,=0)和M(x0+△x,y0+△y,=0+△ y 作曲线的割线MM0,其方程为 x-x0_y-y0_2-20 或 x-xo y-yo △x △ △ △t △t △t 当M→>M,即△>0时,得曲线在点M处的切线方程为 Xo y-yo (t0)v(0)o(0) 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、空间曲线的切线与法平面 下页 设空间曲线的参数方程为 x=(t), y=(t),z=(t), 这里假定(t),(t), (t)都在[, ]上可导 设t=t 0和t=t 0+t分别对应于曲线上的 点M0 (x0 , y0 , z0 )和M(x0+x, y0+y, z0+z) 当M→M0 , 即t→0时, ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x    − =  − =  −  z z z y y y x x x  − =  − =  − 0 0 0 , 或 t z z z t y y y t x x x   − =   − =   − 0 0 0  作曲线的割线MM0 , 其方程为 得曲线在点M0处的切线方程为 z z z y y y x x x  − =  − =  − 0 0 0 , 或 t z z z t y y y t x x x   − =   − =   − 0 0 0 

、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线r的参数方程为 A2 x=(0(0),y=v(),=0(1), 这里假定o),v(1),(t)都在[a,B上可导 过曲线r上=0所对应的点M切线方 程为 x-xo y-yo q(0)v(0)o(o) 向量T=((t,v(to,o(0)称为曲线I在点M的切向量 通过点M而与切线垂直的平面称为曲线在点M处的法 平面,其法平面方程为 0(t0(x-x0)+v/(0)(yy0)+(t0)(=-=0)=0 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设空间曲线的参数方程为 x=(t), y=(t),z=(t), 这里假定(t),(t), (t)都在[, ]上可导 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x    − =  − =  −  过曲线上t=t 0所对应的点M0切线方 程为 向量T=((t 0 ), (t 0 ), (t 0 ))称为曲线在点M0的切向量 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法 平面, 其法平面方程为 (t 0 )(x−x0 )+(t 0 )(y−y0 )+(t 0 )(z−z0 )=0 下页 一、空间曲线的切线与法平面

曲线x=0()2y=vO),=0(1)在=10所对应的点M的切向量 为T=((t),v/(to,o(t0) 例1求曲线x=,y=P2,z=3在点(1,1,1)处的切线及法平面 方程 解点(1,1,1)所对应的参数=1 因为x1=1,y′=21,21=3,所以切向量为T=(1,2,3) 于是,切线方程为 法平面方程为 (x-1)+2(y-1)+3(2-1)=0,即x+2y+3z=6 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 3 1 2 1 1 1 − = − = x− y z , 解 xt =1, 点(1, 1, 1)所对应的参数t=1 因为 zt =3t 2 y , t =2t, 于是, 切线方程为 所以切向量为T=(1, 2, 3) 法平面方程为 (x−1)+2(y−1)+3(z−1)=0, 即x+2y+3z=6 下页 例1 求曲线x=t, y=t 2 , z=t 3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面 方程 曲线x=(t), y=(t), z=(t)在t=t 0所对应的点M0的切向量 为T=((t 0 ), (t 0 ), (t 0 ))

曲线x=0()2y=vO),=0(1)在=10所对应的点M的切向量 为T=((t),v/(to,o(t0) 讨论: 1.若曲线的方程为y=0(x),z=v(x),则切向量T=? 2.若曲线的方程为F(x,y,=)=0,G(x,y,z)=0,则切向量T? 提示: 1.曲线的参数方程可视为:x=x,y=0(x),z=v(x), 切向量为T=(1,(x),V(x) 2.两方程可确定两个隐函数:y=0(x,z=1(x) 切向量为T=(1,(x),v(x),而o(x),v(x)要通过解方程组得 到.>> 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 讨论: 1 若曲线的方程为y=(x), z=(x), 则切向量T=? 提示: 1 曲线的参数方程可视为: x=x, y=(x), z=(x), 切向量为T =(1, (x), (x)) 下页 曲线x=(t), y=(t), z=(t)在t=t 0所对应的点M0的切向量 为T=((t 0 ), (t 0 ), (t 0 )) 2 若曲线的方程为F(x, y, z)=0, G(x, y, z)=0, 则切向量T=? 2 两方程可确定两个隐函数: y=(x), z=(x) 切向量为T =(1, (x), (x)), 而(x), (x)要通过解方程组得 到 >>>

例2求曲线x2+y2+26,x+y+2=0在点(1,-2,1)处的切线及 法平面方程. 解为求切向量,将所给方解方程组得=0 dz 程的两边对x求导数,得 x 从而T={1,0,-1} 2x+2y+2 dz 0 所求切线方程为 x x-1y+2z-1 1+ dz 0 0 x ax 方程组在点(,-2,1处化为法平面方程为 小dz (x-1)+0(+2)(2-1)=0, z=0 dy, dz 自 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃      + + = + + = 1 0 2 2 2 0 dx dz dx dy dx dz z dx dy x y  例2 求曲线x 2+y 2+z 2=6, x+y+z=0在点(1, −2, 1)处的切线及 法平面方程 解 方程组在点(1, −2, 1)处化为 为求切向量, 将所给方 程的两边对x求导数, 得 所求切线方程为 从而T ={1, 0, −1} 法平面方程为 (x−1)+0(y+2)−(z−1)=0, 即 x−z=0 首页 1 1 0 2 1 1 − − = + = x− y z ,      + =− − = 1 2 1 dx dz dx dy dx dz dx dy  解方程组得 =0 dx dy , =−1 dx dz 

二、曲面的切平面与法线 设M(x0,y0,0)是曲面Σ:F(x,y,z)=0上的一点,T是曲面Σ 上过点M的任意一条曲线,其参数方程为 x=0(),y=v(),2=0(1) =0对应于点M(x02y2=0) 因为曲线在曲面∑上,所以有 FL(t),v(0),0()=0 等式的两边在=点求全导数得 F(xo0,yo,=0)(0+F3(x0,y02=0)vy(t0)+F(x0,y0,=0)(t0)=0 向量n(F(x0yb0,F(xoy-0),F(x0=0)与曲线上点 M处的切向量T=(q(),v(),0(x)是垂直的 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、曲面的切平面与法线 因为曲线在曲面上, 所以有 F[(t),(t),(t)]0 向量 n=(Fx (x0 ,y0 ,z0 ), Fy (x0 ,y0 ,z0 ), Fz (x0 ,y0 ,z0 ))与曲线上点 M0处的切向量T =((t0 ),(t0 ),(t0 ))是垂直的 Fx (x0 , y0 , z0 )(t 0 )+Fy (x0 , y0 , z0 )(t 0 )+Fz (x0 , y0 , z0 )(t 0 )=0 等式的两边在t=t 0点求全导数得 下页 设M0 (x0 , y0 , z0 )是曲面: F(x, y, z)=0上的一点, 是曲面 上过点M0的任意一条曲线, x=(t), y=(t),z=(t), t=t 0对应于点M0 (x0 , y0 , z0 ) 其参数方程为

二、曲面的切平面与法线 设M(x0,y10,0)是曲面Σ:F(x,y,z)=0上的一点,I是曲面∑ 上过点M的任意一条曲线,其参数方程为 x=0(),y=v(),2=0(1) =0对应于点M(x02y,2=0) 向量n=(F2(x0y=0,Fxoy),F(xo3o=0)与曲线上点 M处的切向量T=(q(),v(x),0(x)是垂直的 曲面的切平面与法线 曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个 平面上,这个平面称为曲面Σ在点M的切平面;通过点M而垂 直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、曲面的切平面与法线 向量 n=(Fx (x0 ,y0 ,z0 ), Fy (x0 ,y0 ,z0 ), Fz (x0 ,y0 ,z0 ))与曲线上点 M0处的切向量T =((t0 ),(t0 ),(t0 ))是垂直的 设M0 (x0 , y0 , z0 )是曲面: F(x, y, z)=0上的一点, 是曲面 上过点M0的任意一条曲线, x=(t), y=(t),z=(t), t=t 0对应于点M0 (x0 , y0 , z0 ) 其参数方程为 曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个 平面上, 这个平面称为曲面在点M0的切平面; 通过点M0而垂 直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 ❖曲面的切平面与法线 下页

曲面的切平面方程 曲面Σ在点M(x02y2=0)的切平面方程为 F(xo,y0,2=0)(x-x0)+F 050,-0 0)(y0)+F(x0,y,=0)(2-20)=0 今曲面的法线方程 曲面∑通过点M(x0,y0,=0)的法线方程为 x-x F(x0,y2=0)F(x0,y0=0)F2(xo2yo,=0) 今曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.向量 n=(F2(xo,yo,=0),F(x0,y=0),F(x,y,=0) 是曲面∑在点M(x02y,2=0处的一个法向量 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖曲面的切平面方程 曲面在点M0 (x0 , y0 , z0 )的切平面方程为 Fx (x0 , y0 , z0 )(x−x0 )+Fy (x0 , y0 , z0 )(y−y0 )+Fz (x0 , y0 , z0 )(z−z0 )=0 ❖曲面的法线方程 曲面通过点M0 (x0 , y0 , z0 )的法线方程为 ❖曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量 n=(Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )) 是曲面在点M0 (x0 , y0 , z0 )处的一个法向量 下页 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F x y z z z F x y z y y F x y z x x x y z − = − = − 

曲面Σ:F(x,y,2)=0在点M6xo,y02=0)处的法向量为 (F2(x0y0,20),F2(xo,yo,=,F( 05y0-0 例3求球面x2+y2+2=14在点(1,2,3)处的切平面及法线方 程. 解F(x,y,)=x2+y2+2-14,F2=2x,F1=2y,F=2 F(1,2,3)=2,F(1,2,3)=4,F(1,2,3)=6 法向量为n=(2,4,6),或n=(1,2,3) 所求切平面方程为 (x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0,即x+2y+32-14=0 法线方程为 x-1y-2z-3 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 3 3 2 2 1 1 − = − = x− y z  例3 求球面x 2+y 2+z 2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方 程 F(x, y, z)= x 2+y 2+z 2 解 −14, Fx =2x, Fy =2y, Fz =2z, Fx (1, 2, 3)=2, Fy (1, 2, 3)=4, Fz (1, 2, 3)=6 法向量为n=(2, 4, 6), 法线方程为 或n=(1, 2, 3) 下页 曲面: F(x, y, z)=0在点M0 (x0 , y0 , z0 )处的法向量为 n=(Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )) (x−1)+2(y−2)+3(z−3)=0, 即x+2y+3z−14=0 所求切平面方程为