北京工业大学：《概率论与数理统计 Probability and Statistics》课程电子教案（PPT教学课件）第七讲 第二章 随机变量 第5节 随机变量函数的分布

第二章第5节 随机变量画数的分布 问题的提出 在实际中,人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.例如,已知圆轴截面直径d的分布, ad 求截面面积A 的分布 4 回回

一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 4 2 d 求截面面积 A= 的分布. 第二章第5节 随机变量函数的分布

又如:已知tt0时刻噪声电压的分布, 求功率WR(R为电阻)的分布等 般地、设随机变量X的分布已知, F=g(X(设g是连续函数),如何由X的 分布求出Y的分布? 这个问题无论在实践中还是在理论 上都是重要的 回回

又如：已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布， 求功率 W=V2 /R (R为电阻）的分布等. t 0 t 0 一般地、设随机变量X 的分布已知， Y=g (X) (设g是连续函数），如何由X 的 分布求出Y 的分布？ 这个问题无论在实践中还是在理论 上都是重要的

离散型随机变量函数的分布 例1设X~ 0.20.50.3 求F=2X+3的概率函数 解:当X取值1,2,5时, Y取对应值5,7,13, 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生 的事件,两者具有相同的概率 故y 5713 0.20.50.3 回回

二、离散型随机变量函数的分布 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 例1 设X       0.3 5 0.2 0.5 1 2 求 Y= 2X + 3 的概率函数. ～       0 3 13 0 2 0 5 5 7 . . . Y ~ 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生 的事件，两者具有相同的概率. 故

般,若X是离散型rν,X的概率函数为 X P1 p2.pn 则F=g(X~ g(x1)g(x2)…g(xn 如果g(x)中有一些是相同的,把它们作适当 并项即可 回回

如果g(xk )中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可. 一般，若X是离散型 r.v ，X的概率函数为 X       n n p p p x x x   1 2 ～ 1 2 则 Y=g(X) ～       n n p p p g x g x g x   1 2 1 2 ( ) ( ) ( )

如:X~ 0.3060.1 则F=X2的概率函数为: 01 Y 0 60.4 回回

如： X      − 0.1 1 0.3 0.6 1 0 ～ 则 Y=X2的概率函数为：       0 6 0 4 0 1 . . Y ～

连续型随机变量函数的分布 例2设X~fx(x)= x/8.0<x<4 0,其它 求F=2X+8的概率密度 解:设的分布函数为F(y), Frv=(sy=P(2X+8sy =PX≤”8}=Fy9 于是Y的密度函数 f(v- dFy(y) y-8、1 fx() 22回回

三、连续型随机变量函数的分布 解：设Y的分布函数为FY (y)， 例2 设 X ~      = 0, 其它 /8, 0 4 ( ) x x f x X 求 Y=2X+8 的概率密度. FY (y)=P{ Y y  } = P (2X+8  y ) =P{ X } = FX  ( ) 2 y − 8 2 y − 8 于是Y 的密度函数 2 1 ) 2 8 ( ( ) ( )  − = = y f dy dF y f y X Y Y

x/8.0<x<4 其它 y-8 f(y) dFy( fX( 3). Y=2X+8 注意到0<x<4时,fx(x)≠0 即8<y<16时,(少-8≠0 此时(y-8)=y 16 y-8 故f(y)={32 8<卩<16 0,其 回回

) 0 2 8 (  y − f X 16 8 ) 2 8 ( − = y− y f X 故       − = 0, 其它 , 8 16 32 8 ( ) y y f y Y 2 1 ) 2 8 ( ( ) ( )  − = = y f dy dF y f y X Y Y 注意到 0 < x < 4 时， f X (x)  0 即 8 < y < 16 时， ) 0 2 8 (  y − f X 此时 16 8 ) 2 8 ( − = y − y f X Y=2X+8      = 0, 其它 /8, 0 4 ( ) x x f x X

例3设X具有概率密度fx(x求Y=X2的概率密度 解:设Y和X的分布函数分别为F(y和Fx(x), 注意到Y=X2≥0,故当y0时,F(y)=P(Y≤y)=P(x≤y) P(-Vy≤X≤√y) 求导可得 F(Vy)-F(-√y) dF f(y)= .D()+,(√列 少>0 J≤0 回回

例3设 X 具有概率密度 f (x) ,求Y=X2的概率密度. X = P(− y  X  y) 求导可得         + −  = = 0, 0 ( ) ( ) , 0 2 1 ( ) ( ) y f y f y y y dy dF y f y Y X X Y 当 y>0 时, F ( y) P(Y y) Y =  ( ) 2 = P X  y 注意到 Y=X2  0，故当 y  0时， FY ( y) = 0 F (x) X F ( y) 解： 设Y和X的分布函数分别为 Y 和 ， F ( y ) F ( y ) = X − X −

(2(22D)+/(列]y>0 dy y≤0 若f(x) 0 少s0 回回

若 e x f x X 2 2 2 1 − =  ( ) 则 Y=X2的概率密度为：        = − − 0, 0 , 0 2 1 ( ) 2 2 1 y y f y y e y Y          + −  = = 0, 0 ( ) ( ) , 0 2 1 ( ) ( ) y f y f y y y dy dF y f y Y X X Y −  x  

从上述两例中可以看到,在求PKy)的过 程中,关键的一步是设法从{g(X)≤y}中解出X, 从而得到与g(X≤y}等价的X的不等式 例如,用X≤y8代替{2X+8≤y} 用{y≤X≤√y}代替{X2≤y} 这样做是为了利用已知的X的分布,从 而求出相应的概率 这是求rv的函数的分布的一种常用方法 回回

从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过 程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X, 从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X的不等式. 例如，用{ X  } 代替 {2X+8 ≤ y } 2 y − 8 用 代替{ X2 {− y  X  y} ≤ y } 这样做是为了利用已知的 X的分布，从 而求出相应的概率. 这是求r.v的函数的分布的一种常用方法