北京工业大学：《概率论与数理统计 Probability and Statistics》课程电子教案（PPT教学课件）第十五讲 第四章 数字特征 第3节 协方差与相关系数 第4节 矩、协方差矩阵简介

第四章第三节 协方差与相关系数

第四章第三节 协方差与相关系数

协方差 1定义任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y,定义为 COV(, Y=EIIX-EOIIY-E(YI 2简单性质 (1)Cov(X, Y)=Cov(Y,X) (2)Cov(aX,bY= ab cov(X,Y)a,b是常数 (3)Cov(X1+X2, r)=CoV(X,, n)+ Cov(X2, Y) 回回

任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y), 定义为 ⑶ Cov(X1+X2 ,Y)= Cov(X1 ,Y) + Cov(X2 ,Y) ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) 一、协方差 2.简单性质 ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 1.定义

3.计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质,可得 C0v(,1=E{X-E(X川YE( -E(XY-E(E(Y-E(EX+E(E(Y FE(XY-E((n 即 COV(X,Y=E(XY-E(XE(Y 可见,若X与Y独立,Cov(X,Y)=0 回回

Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 . 3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即

4.随机变量和的方差与协方差的关系 Var(+r)= var()+ var(n+ 2Cov(X,y) or(∑X,)=∑r(x1)+2Co(X,X 若X1,X2…,m两两独立,上式化为 ar(∑X)=∑rr(x 回回

若X1 ,X2 , …,Xn两两独立,，上式化为 Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)+ 2Cov(X,Y) 4. 随机变量和的方差与协方差的关系 ( ) ( ) 2 ( , ) 1 1 i j n i n i i j Var Xi Var Xi Cov X X = =  = +    = = = n i n i Var Xi Var Xi 1 1 ( ) ( )

协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系,但它还受X与Y本身度量单位 的影响.例如: Cov(kX, kr)=k-Cov(X,Y) 为了克服这一缺点,对协方差进行标准化, 这就引入了相关系数 回回

协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位 的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k 2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化， 这就引入了相关系数

二、相关系数 定义:设r(X)>0,r(Y)>0,称 Cov(,Y XY √ar(X)War(Y) 为随机变量X和Y相关系数 在不致引起混淆时,记Px为P. 回回

二、相关系数 为随机变量X和Y的相关系数. 定义: 设Var(X)>0, Var(Y)>0, ( ) ( ) ( , ) Var X Var Y Cov X Y  XY = 称 在不致引起混淆时，记  XY 为 

关于p的符号 当pxy>0时,称X与Y为正相关 当pxy<0时,称X与Y为负相关 相关系数和协方差具有相同的符号,因此, 前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到 这里.即 正相关表示两个随机变量有同时增加或同 时减少的变化趋势 负相关表示两个随机变量有相反的变化趋 势 回回

关于XY的符号: 当 XY > 0时,称X与Y为正相关. 当 XY < 0时,称X与Y为负相关. 相关系数和协方差具有相同的符号,因此, 前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到 这里. 即 正相关表示两个随机变量有同时增加或同 时减少的变化趋势. 负相关表示两个随机变量有相反的变化趋 势

相关系数的性质: 1|1由方差h(是正的故必有 证:由方差的 1yp2≥0,所以|≤1 对任意实 Os<Var(Y-bX)=b2Var(X)+ Var(n-2b Cov(X, Y) 令b=C0mX),则上式为 Var(X Cov(X,YI Var(Y-bX)=Var(r) Var(X Var(y)1 ICov(,YI I=Var(r)[-p4I Var(Xvar(r) 回回

相关系数的性质： 1. |  | 1 证: 由方差的性质和协方差的定义知, 对任意实数b,有 0≤Var(Y-bX)= b 2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y ) ( ) ( , ) Var X Cov X Y 令 b = ，则上式为 Var(Y- bX)= ( ) [ ( , )] ( ) 2 Var X Cov X Y Var Y − ] ( ) ( ) [ ( , )] ( )[1 2 Var X Var Y Cov X Y =Var Y − ( )[1 ] 2 =Var Y −  由方差Var(Y)是正的,故必有 1- 2 ≥ 0,所以 | |≤1 

2.X和Y独立时,P=0,但其逆不真 由于当X和独立时,Cop(X,Y)=0 故P COv(X, Y0 √ar(X)ar(Y 但由ρ=0并不一定能推出X和Y独立 请看下例 回回

2. X和Y独立时，  =0，但其逆不真. 由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0. 故 ( ) ( ) ( , ) Var X Var Y Cov X Y  = = 0 但由  = 0 并不一定能推出X和Y 独立. 请看下例

例1设(X,Y)服从单位圆域x2+y2≤1 上的均匀分布,证明:px=0。 证明 (x,y)∈D f(x, y)=7 0(x,y)≠D E(X)= dxdy x-+y-≤1 xdx dv 0cy=0

证明: 例 1 设(X,Y)服从单位圆域x 2+y2≤1 上的均匀分布,证明: XY =0。        = x y D x y D f x y 0 ( , ) ( , ) 1 ( , )  0 0 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2  = =      = =     − − − − − +  xdx dy dy dxdy x E X y y x y  