北京工业大学：《概率论与数理统计 Probability and Statistics》课程电子教案（PPT教学课件）第十二讲 第三章 随机向量 第7节 随机变量函数的分布

第三章第七节 随机变量画数的分布

第三章第七节 随机变量函数的分布

在第二章中,我们讨论了 8维随机变量函数的分布,现在我 们进一步讨论: 当随机变量X,X2,…,X的联合分布 已知时,如何求出它们的函数 gi X1, x23 9···%4-n9 ●●● 的联合分布? 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问 题,然后将其推广到多个随机变量的情形 回回

在第二章中，我们讨论了一 维随机变量函数的分布，现在我 们进一步讨论: 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问 题，然后将其推广到多个随机变量的情形. 当随机变量X1 , X2 , …,Xn的联合分布 已知时，如何求出它们的函数 Yi =gi (X1 , X2 , …,Xn ), i=1,2,…,m 的联合分布?

、离散型分布的情形 例1若X、Y独立,P(X=k)=ak,k=0,…, P(F=k)=b,k=0,1,2,,求z=X+Y的概率函数 解:P(Z=r)=P(X+Y=r) 由独立 SPX=iy=r-i)性 此即离散型 卷积公式 ∑ P(X=i)P(r=r-1) =aob +a,br+.+a bo r=0, 1, 2 回回

一、离散型分布的情形 例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求Z=X+Y的概率函数. 解: P(Z = r) = P(X +Y = r) = = = = − r i P X i P Y r i 0 ( ) ( ) =a0br +a1br-1+…+arb0 = = = = − r i P X i Y r i 0 ( , ) 由独立 性 此即离散型 卷积公式 r=0,1,2, …

例2若X和Y相互独立它们分别服从参数为 λ,2的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为 41+2的泊松分布 解:依题意 P(r=i=eA i=0,1,2, P(r=j 户0,1,2, ●●● 由卷积公式 P(z=r)=∑P(X=iY=r- i=0 回回

解：依题意 = = = = = − r i P Z r P X i Y r i 0 ( ) ( , ) 例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 1 ,2 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 1 + 2 的泊松分布. 由卷积公式 i=0,1,2,… j=0,1,2,… ! ( ) i e P X i i 1 1  − = = ! ( ) j e P Y j j 2 2  − = =

由卷积公式 P(Z=r) ∑∑ P(X=i,Y=r-i e e i=0 -(41+2) i=0 (1+2 (1+2) 0.1 即Z服从参数为+2的泊松分布 回回

= = = = = − r i P Z r P X i Y r i 0 ( ) ( , ) 由卷积公式 = =  r i 0 r-i - 2 i - 1 (r -i)! e i! e 1 2     = − + = r r i e 0 r-i 2 i 1 ( ) i!(r -i)! r! ! 1 2     ( ) , ! 1 2 ( ) 1 2 r r e     = + − + 即Z服从参数为 1 + 2 的泊松分布. r =0,1，…

二、连续型分布的情形 设X和f的联合密度为f(xy),求Z=X+的 密度 解:Z=X+Y的分布函数是 Fz(x)=P(∠≤)=P(X+Y≤x) x+y=z 这里积分区域D={(x,y:x+≤a} 是直线x+y=z左下方的半平面 回回

设X和Y的联合密度为f (x,y), 求Z=X+Y的 密度. 解: Z=X+Y的分布函数是: FZ (z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)  = D f (x, y)dxdy 这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面. 二、连续型分布的情形

Fz(z) f(, y)dxdy y x+y≤z XTy-Z 化成累次积分得 2-y F2(x)= f(x, y)dx]dy 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换 令x=-,得 变量代换 F2(x)=[f(-y,y) 交换积分次序 f(u-y, y)dyldu 回回

化成累次积分,得  +  = x y z FZ (z) f (x, y)dxdy    − − − = z y FZ (z) [ f (x, y)dx]dy 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得    − − = − z FZ (z) [ f (u y, y)du]dy −   − = − z [ f (u y, y)dy]du 变量代换 交换积分次序

F (a)=[ f(u-y,ydy]du 由概率密度与分布函数的关系,即得zZ=X+Y 的概率密度为: fi(z)=F2(2)=f(z-y,y)dy 由X和Y的对称性,(z)又可写成 fi(3)=F7(3)= f(x, 2-x)dx 以上两式即是两个随机变量和 的概率密度的一般公式 回回

由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y 的概率密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成   − f z = F z = f z − y y dy Z Z ( ) ( ) ( , ) ' 以上两式即是两个随机变量和 的概率密度的一般公式.   − f Z (z) = FZ (z) = f (x,z − x)dx ' −   − = − z FZ (z) [ f (u y, y)dy]du

特别,当X和y独立,设(X,关于X,Y的边缘 密度分别为f(x),f),则上述两式化为 f()=fx(z-y),(y)小 f2(2)=fx(x)/(z-x)d 这两个公式称为卷积公式 下面我们用卷积公式来求 z=X+的概率密度 回回

特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX (x) , fY (y) , 则上述两式化为:   − f z = f z − y f y dy Z X Y ( ) ( ) ( ) 这两个公式称为卷积公式 .   − f z = f x f z − x dx Z X Y ( ) ( ) ( ) 下面我们用卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度

例3若X和Y独立,具有共同的概率密度 ,0≤x≤1 ∫(x) 0.其它求z=X+Y的概率密度 解:由卷积公式 f(x)=」。x(x)f(-x 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 0<x<1 0<x<1 也即 0≤z-x≤1 z-1≤x≤z 回回

为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 例3 若X和Y 独立,具有共同的概率密度 求Z=X+Y的概率密度 .      = 0, 其它 1, 0 1 ( ) x f x   − f Z (z) = f X (x) f Y (z − x)dx 解: 由卷积公式     −    0 1 0 1 z x x 也即    −     z x z x 1 0 1