北京工业大学：《概率论与数理统计 Probability and Statistics》课程电子教案（PPT教学课件）第十八讲 第六章 样本与统计量 第三节 统计量 第四节 正态总体

第六章第三节 统计量

第六章第三节 统计量

统计量 由样本值去推断总体情况,需要对样本 值进行“加工”,这就要构造一些样本的 函数,它把样本中所含的(某一方面)的 信息集中起来 这种不含任何未知参数的样本的函数 称为统计量.它是完全由样本决定的量 回回

由样本值去推断总体情况，需要对样本 值进行“加工” ，这就要构造一些样本的 函数，它把样本中所含的（某一方面）的 信息集中起来. 一、 统计量 这种不含任何未知参数的样本的函数 称为统计量. 它是完全由样本决定的量

几个常见统计量 它反映了总体均值 的信息 样本均值x=∑ 它反映了总体方差 的信息 样本方差s2=1 (X,-X n-1 回回

二、几个常见统计量 样本均值 样本方差 = = n i Xi n X 1 1 = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 它反映了总体均值 的信息 它反映了总体方差 的信息

它反映了总体k阶矩 的信息 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩M_1 (X1-X k 它反映了总体k阶 k=1,2, 中心矩的信息 回回

样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 = = n i k k Xi n A 1 1 = = − n i k k Xi X n M 1 ( ) 1 k=1,2,… 它反映了总体k 阶矩 的信息 它反映了总体k 阶 中心矩的信息

抽样分布 统计量既然是依赖于样本的,而 后者又是随机变量,故统计量也是随 机变量,因而就有一定的分布,这个 分布叫做统计量的“抽样分布” 回回

三、抽样分布 统计量既然是依赖于样本的，而 后者又是随机变量，故统计量也是随 机变量，因而就有一定的分布，这个 分布叫做统计量的“抽样分布

抽样分布就是通常的随机变量函数 的分布.只是强调这一分布是由一个统 计量所产生的.研究统计量的性质和评 价一个统计推断的优良性,完全取决于 其抽样分布的性质 精确抽样分布(小样本间题中使用) 抽样分布 渐近分布(大样本问题中使用) 回回

抽样分布就是通常的随机变量函数 的分布. 只是强调这一分布是由一个统 计量所产生的. 研究统计量的性质和评 价一个统计推断的优良性，完全取决于 其抽样分布的性质. 抽样分布 精确抽样分布 渐近分布  （小样本问题中使用） （大样本问题中使用)

定理 设X,X2,,X是来自均值为,方 差为G2的总体的一组样本则当n充分大时, 近似地有 X N(u,) 回回

设 X1,X2 , ,Xn是来自均值为 ,方 差为 2的总体的一组样本.则当n充分大时, 近似地有 定理 ( , ) 2 n X N  ～ 

证明:X,X2,…,xn是来自均值为μ,方 差为2的总体的一组样本 X1,x2,….,Xn是独立同分布的, 且E(X)=u,Var(X)=o2,i=1,2,…,n 根据中心极限定理(定理5.2.1) 我们有 ∑X 也即ⅹ 近似~N(0 2 对充分大的n,近似地有X~N(∠,2)

∵ X1,X2 , ,Xn是来自均值为 ,方 差为 2的总体的一组样本. ∴ X1,X2 , ,Xn是独立同分布的, 且E(X)=,Var(X)= 2, i=1,2,,n. 根据中心极限定理(定理5.2.1) 我们有 对充分大的n,近似地有 证明: (0,1) 1 N n X n X n n i i 近似～ 也即     −  − = ( , ) 2 n X N  ～ 

定理的应用 样本均值的分布函数的近似地计算 X近似~N(A,), 近似~N(0,1) 12 o/ va∈RP{X≤a}=P{-∞00 PIX =P+c≤X-Asd回回风

样本均值的分布函数的近似地计算 定理 的应用       −         −  − = −      = −   −  n a n a n X P a R P X a P X a N n X n X N / / / { } { } (0,1) / ( , ), 1 2           近似～  近似～ 样本均值与的偏差的研究的近似地计算   P c X c c P X c = −  −    −   0, 

P{-c≤X-H≤c o/√no/√na/√m Cp Cp O 72 =2Φ O/√n 我们看到,当。给定那么对于固定的c 当样本大小n增大时,上面的概率也随之增 加.n趋近于无穷时则趋近于1 回回

我们看到,当 2给定,那么对于固定的c, 当样本大小 n增大时,上面的概率也随之增 加.n趋近于无穷时则趋近于1.   1 / 2 / / / / /  −      =        −  −               −  − = = −  −  n c n c n c n c n X n c P P c X c        