北京工业大学：《概率论与数理统计 Probability and Statistics》课程电子教案（PPT教学课件）第二十一讲 第七章 参数估计 第四、五节 正态总体的区间估计

第七章第四节 正态总体的区间估计

第七章第四节 正态总体的区间估计 （一）

引言 前面,我们讨论了参数点估计.它 是用样本算得的一个值去估计未知参数 但是,点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值,它没有反映出这个近似值的误 差范围,使用起来把握不大.区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 回回

引言 前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷

譬如,在估计湖中鱼数的问题中,若 我们根据一个实际样本,得到鱼数N的极 大似然估计为1000条 实际上,N的真值可能大于1000条, 也可能小于1000条 若我们能给出一个区间,在此区间 内我们合理地相信N的真值位于其中 这样对鱼数的估计就有把握多了 回回

譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极 大似然估计为1000条. 若我们能给出一个区间，在此区间 内我们合理地相信N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了. 实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条

也就是说,我们希望确定一个区间,使我 们能以比较高的可靠程度相信它包含真参 数值. 湖中鱼数的真值 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的, 称为置信概率,置信度或置信水平 习惯上把置信水平记作1-a,这里a是一个 很小的正数 回回

也就是说，我们希望确定一个区间，使我 们能以比较高的可靠程度相信它包含真参 数值. • 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 1− ，这里  是一个 很小的正数

置信水平的大小是根据实际需要选定的 例如,通常可取置信水平1-a=0.95或0.9等 根据一个实际样本,由给定的置信水平,我 们求出一个尽可能小的区间[,02],使 P{1≤b≤b,}=1- 称区间6,2为0的置信水平为1-a的 置信区间,其中a、,为两个统计量 回回

置信水平的大小是根据实际需要选定的. 例如，通常可取置信水平 1− =0.95或0.9等. P{ ˆ 1    ˆ 2 } = 1− 根据一个实际样本，由给定的置信水平，我 ] ˆ , ˆ [ 们求出一个尽可能小的区间 1  2 ，使 ] ˆ , ˆ [1  2 置信水平为 1− 的 置信区间，其中 为两个统计量. 称区间 为  的 1 2 ˆ , ˆ  

寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手 我们选取未知参数的某个估计量,根 据置信水平1-a,可以找到一个正数δ, 使得P{6-K;}=1-a 称δ为6与6之间的误差限 只要知道日的概率分布,确定误差限并不难 回回

寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手. 使得 P{| ˆ − |  } = 1− 称 为  与 之间的误差限 . ˆ   我们选取未知参数的某个估计量 ，根 据置信水平 ，可以找到一个正数 ，  ˆ 1−  只要知道  的概率分布，确定误差限并不难. ˆ

由不等式6-δ可以解出 6-6<6<6+6 这个不等式就是我们所求的置信区间 下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法 回回

下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法.  −   + ˆ ˆ 由不等式 | ˆ − |  可以解出  ： 这个不等式就是我们所求的置信区间

在求置信区间时,要查表求分位数 前面已经给出了概率分布的上侧分位数(分 位点)的定义,为便于应用,这里我们再简 要复习一下 设0xo=a 的点x为X的概率分布的上分位数 回回

前面已经给出了概率分布的上侧分位数（分 位点）的定义，为便于应用，这里我们再简 要复习一下. 在求置信区间时，要查表求分位数. 设0< <1, 对随机变量X，称满足 P(X  x ) = 的点 为X的概率分布的上 分位数.  x 

设0xo=a 的点x为X的概率分布的上C分位数. f(x) 标准正态分布的 04 N0)上a分位数la 例如: l05=1.645 X 0 a=1.96 回回

例如: u0.05 =1.645 u0.025 =1.96 设0< <1, 对随机变量X，称满足 P(X  x ) =  的点 为X的概率分布的上 分位数. x  标准正态分布的 上  分位数 u 

设0xo=a 的点x。为X的概率分布的上C分位数 f(x) 自由度为n的 X-x(n) x2分布的上a 分位数xn(a) 例如: 20)~x/x3(0.025)=9348 3(0.975)=0.216 回回

例如: 设0< <1, 对随机变量X，称满足 P(X  x ) =  的点 为X的概率分布的上 分位数. x  分布的上 分位数  2  自由度为n的  ( ) 2  n  (0.025) 9.348 2  3 = (0.975) 0.216 2  3 =