中国水利水电出版社：《线性代数》课程讲稿（PPT课件）第04章 线性方程组

第4章线性方程组 41齐次线性方程组

第4章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组

4.2齐次线性方程组解的结构

4.2 齐次线性方程组解的结构

若x 为41.1)的 解,则称 II 921 SnI 性质2若 为方程组(41.1)的解向量,也是(412)的解 齐次线性方程组的解具有以下两个重要性质 性质1若5是(412)的解,k为任意实数,则 k5也是(412)的解 性质2若552是(412)的解,则5+5也是 (412)的解

 若 为(4.1.1)的一个 解，则称 为方程组(4.1.1)的解向量，也是(4.1.2)的解． 齐次线性方程组的解具有以下两个重要性质． 性质1 若 是(4.1.2)的解， 为任意实数，则 也是(4.1.2)的解． 性质2 若 是(4.1.2)的解，则 也是 (4.1.2)的解． 1 11 2 21 1 , , , n n x x x = = =    11 21 1 n1          =         k k 性质2 若 1 2  , 是(4.1.2)的解，则 1 2   + 也是(4.1.2)的解．

若将齐次线性方程组41.1)的全体解向量所组 成的集合记做S,则性质1、2即为 (1)若∈S,k∈R,则k∈S; (2)若5∈S52∈S,则5+22∈S ■同时说明集合S对向量的线性运算是封闭的, 所以集合S是一个向量空间,称为齐次线性方 程组(41.1)的解空间 定义1方程组(411)的解空间S的一个基称为 (41.1)的一个基础解系 与定义1等价之定义为:齐次线性方程组(411) 的解集合S的一个极大线性无关组称为方程组

 若将齐次线性方程组(4.1.1)的全体解向量所组 成的集合记做 ，则性质1、2即为  （1）若 ， ，则 ；  （2）若 ，则 ．  同时说明集合 对向量的线性运算是封闭的， 所以集合 是一个向量空间，称为齐次线性方 程组(4.1.1)的解空间． 定义1 方程组(4.1.1)的解空间 的一个基称为 (4.1.1)的一个基础解系． 与定义1等价之定义为：齐次线性方程组(4.1.1) 的解集合 的一个极大线性无关组称为方程组 S   S k R  k S   1 2     S S , 1 2   + S S S S S

(41.1)的一个基础解系 定理2若齐次线性方程组(41.1)的系数矩阵的 秩小于未知数个数,即R(A)=r<n,则方程组 (411)必存在含有n-r个解向量552…,5n 的一个基础解系,且其通解(全部解)可表示为 x=k51+k252+…+kn5n(k k 15~25 k.∈R 7 n-1 其解空间S可表示为 S={x=k5+k2+…+kn5nk,k2,,kn∈R} 由此可见,方程组(41.1)有非零解兮R(A)<n 当R(A)=n时,(41.1)只有零解,此时解空间S 含一个零向量,为0维向量空间,没有基础解系

(4.1.1)的一个基础解系． 定理2 若齐次线性方程组(4.1.1)的系数矩阵的 秩小于未知数个数，即 ，则方程组 (4.1.1)必存在含有 个解向量 的一个基础解系，且其通解(全部解)可表示为 其解空间 可表示为 由此可见，方程组(4.1.1)有非零解 当 时，(4.1.1)只有零解，此时解空间 只 含一个零向量，为 维向量空间，没有基础解系 . R A r n ( ) =  n r − 1 2 , , ,    n r − 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) n r n r n r x k k k k k k R = + + +  − − −    S 1 1 2 2 1 2 { , , , } n r n r n r S x k k k k k k R = = + + +    − − −  R A n ( )  ． R A n ( ) = S 0

例1求齐次线性方程组 x1+2x2+4x3-3x4=0, 3x1+5x+6x,-4x1=0 4x1+5x2-2x3+3x4=0 的一个基础解系和通解 解将系数矩阵A施行初等行变换,化其为行最 简形矩阵 255 4-3)(1087 A=3 6-4|→016-58 4 23 0000

 例1 求齐次线性方程组 的一个基础解系和通解． 解 将系数矩阵 施行初等行变换，化其为行最 简形矩阵 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 3 0, 3 5 6 4 0, 4 5 2 3 0 x x x x x x x x x x x x  + + − =   + + − =   + − + = A 1 2 4 3 1 0 8 7 3 5 6 4 0 1 6 5 4 5 2 3 0 0 0 0 A     − −     = − → −             −

R(A)=2<4,基础解系由两个线性无关的解构 成.与原方程组同解的方程组为 x,-8x,+7x1=0 x2+6x3-5x4=0, 8x2-7 =-6x2+5x (3yx4为自由未知数)(1) 令 1)(0 ,代入(1),得 x 86 7

，基础解系由两个线性无关的解构 成．与原方程组同解的方程组为 即 （ 为自由未知数）(1) 令 ，代入 (1) ，得 R A( ) 2 4 =  1 3 4 2 3 4 8 7 0, 6 5 0, x x x x x x  − + =   + − = 1 3 4 2 3 4 8 7 , 6 5 , x x x x x x  = −   = − + 3 4 x x, 3 4 1 0 , 0 1 x x         =           ， 1 2 8 7 , 6 5 x x       −   =           −

从而得到一个基础解系为 501 0 故方程组的通解为 x=k51+k252(k,k2∈R)

从而得到一个基础解系为 故方程组的通解为 1 2 8 7 6 5 , 1 0 0 1       −     −     = =             1 1 2 2 1 2 x = +  k k k k R   ( , )

例2求齐次线性方程组 x x+ 5x 0 x+x2-2x2+3x4=0, 3x1-x2+8x3+x4=0, x+3x2-9x+7 0 的通解 解将系数矩阵A施行初等行变换,有 1-15 1-15 11-232--3102-74 A 3-181n-702-74 04-148

 例2 求齐次线性方程组 的通解． 解 将系数矩阵 施行初等行变换，有 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 0, 2 3 0, 3 8 0, 3 9 7 0 x x x x x x x x x x x x x x x x  − + − =   + − + =  − + + =    + − + = A 2 1 3 1 4 1 , 3 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 2 3 0 2 7 4 3 1 8 1 0 2 7 4 1 3 9 7 0 4 14 8 r r r r r r A − − −     − − − −     − −     = →     − −         − −

0 r4-2n2,3-F2 01 2×= 0000 0000 R(4)=2<4,基础解系由两个线性无关的解 构成.与原方程组同解的方程组为 x +-x2+x 2 +2 4

4 2 3 2 2 1 2 2 , 1 , 2 3 1 0 1 2 7 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r r r − −  +         → −         ，基础解系由两个线性无关的解 构成．与原方程组同解的方程组为 R A( ) 2 4 =  1 3 4 2 3 4 3 0, 2 7 2 0, 2 x x x x x x  + + =    − + = 