中国水利水电出版社：《线性代数》课程讲稿（PPT课件）第03章 向量组的线性相关性

第3章向量组的线性相关性 3.1n维向量

第3章 向量组的线性相关性 3.1 n 维向量

32向量组的线性相关性

3.2 向量组的线性相关性

32.1向量组的线性组合 ■定义3设有n维向量B,a12a2…,an若存 在一组数k1,k2,…,km使 B=k1a+k2a2+…+knn 或 k B=(a,a2…;an) 由向量组a1a2…am线性表示(表出), 则称β为向量组a,a2…an的线性组合,或称可B k1,k2…,k称为此线性组合的组合系数

 3.2.1 向量组的线性组合  定义3 设有 维向量 ，若存 在一组数 ，使 或 则称 为向量组 的线性组合，或称可 由向量组 线性表示（表出）， 称为此线性组合的组合系数． n 1 2     , , , , m 1 2 , , , m k k k     = + + + 1 1 2 2 m m k k k1 2 1 2 ( , , , ) m m k k k       =            1 2    , , , m  1 2    , , , m 1 2 , , , m k k k

322向量组的线性相关与线性无关 n定义4设有n维向量组a1,a2…,an,若存在 组不全为零的数k,k2…,kn,使 k11+k2a2+…+knCn=0 ■则称向量组αx2a2…,∝m线性相关,否则称此向 量组线性无关 ■换言之,若ax2a2…,am线性无关, k1a1+k2a2+…+knCn=0 成立当且仅当 =k=0

 3.2.2 向量组的线性相关与线性无关  定义4 设有 维向量组 ，若存在 一组不全为零的数 ，使  则称向量组 线性相关，否则称此向 量组线性无关．  换言之，若 线性无关，  成立当且仅当 n 1 2    , , , m 1 2 , , , m k k k 1 1 2 2    + + + = 0 m m k k k 1 2    , , , m 1 2    , , , m 1 1 2 2    + + + = 0 m m k k k 1 2 0 m k k k = = = =

由此定义可知: n(1)仅含一个零向量的向量组必线性相关 (2)仅含一个非零向量的向量组必线性无 关 ■(3)任何包含零向量在内的向量组必线性相 关

 由此定义可知：  （1）仅含一个零向量的向量组必线性相关．  （2）仅含一个非零向量的向量组必线性无 关．  （3）任何包含零向量在内的向量组必线性相 关．

323向量组线性相关的充分必要条件 定理1向量组a1,a2….an(m≥2)线性相关的 充分必要条件是:向量组a,a2…am中至少有 个向量可由其余m-1个向量线性表示 例1讨论向量组 23 2 32 的线性相关性 解设有一组数x1,x2,x3,使 x1+x2a2+x3O3=0

 3.2.3 向量组线性相关的充分必要条件  定理1 向量组 线性相关的 充分必要条件是：向量组 中至少有 一个向量可由其余 个向量线性表示．  例1 讨论向量组 的线性相关性． 解 设有一组数 ，使 1 2    , , , m ( 2) m≥ 1 2    , , , m m−1 1 2 3 2 1 3 3 , 2 , 2 1 1 1             = = =                   −    1 2 3 x x x , , x x x 1 1 2 2 3 3    + + = 0

n则有方程组 2x1+x2+3x3=0, 3x1+2x2+2x3=0, x+x2-x3=0 因其系数行列式 32-15 D=322|=3-15=0 100 所以方程组有非零解,从而ax12a2a3线性相关

 则有方程组 因其系数行列式 所以方程组有非零解，从而 线性相关． 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 3 2 2 0, 0.  + + =   + + =   + − = x x x x x x x x x 2 1 3 2 1 5 3 2 2 3 1 5 0 1 1 1 1 0 0 − = = − = − D 1 2 3    ,

■例2讨论维向量组 0 0 的线性相关性,通常称e1,e2,…,en为基本单位 向量组 解设有一组数k2k2,…k,使 大e,+kg+…+ke=0

 例２ 讨论维向量组 的线性相关性，通常称 为基本单位 向量组． 解 设有一组数 ，使 1 2 1 0 0 0 1 0 , , , 0 0 1 e e e                   = = =                   n 1 2 e e e , , , n 1 2 , , , n k k k 1 1 2 2 e e e + + + = 0 n n k k k

0 0(0 0 0||0 k1|.|+k2.+…+k 得(k,k2…,kn)=0,从而k=k2=…=kn=0, 故,e2,…,en线性无关

 即 得 ，从而 ， 故 线性无关． 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 n k k k                         + + + =                         T 1 2 ( , , , ) = 0 n k k k 1 2 0 n k k k = = = = 1 2 e e e , , , n

例3设向量组a1,a2,…an线性无关,讨论 向量组 B1=a1+a2,B2=a2+a3,…Bn1=an=1+an,Bn=an+ax1 的线性相关性. 解设有一组数x1,x2,…,xn,使 xB1+x2B2+…+x,B2=0 x(a1+a2)+x2(a2+a3)+…+x(an+ax1)=0 从而有 (x+x)a1+(x+x2)x2+…+(xn1+xn)an=0

 例３ 设向量组 线性无关，讨论 向量组 的线性相关性． 解 设有一组数 ，使 即 从而有 1 2 , , ,   n 1 1 2 2 2 3       = + = + , , , 1 1 1 ,       n n n n n − − = + = + 1 1 2 2    + + + = 0 n n x x x 1 2 , , , n x x x 1 1 2 2 2 3 1 ( ) ( ) ( )       + + + + + + = 0 n n x x x 1 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) + + + + + + =    − 0 n n n n x x x x x x