北京工业大学：《概率论与数理统计 Probability and Statistics》课程电子教案（PPT教学课件）第六讲 第二章 随机变量 第3节 连续型随机变量

第二章第爷 這续型随机变量 应用数理学院 回回

应用数理学院 第二章 第3节 连续型随机变量

第二章第3爷 這续型随机变量 连续型随机变量X所有可能取值充满 一个区间,对这种类型的随机变量,不能 象离散型随机变量那样,以指定它取每个 值概率的方式,去给出其概率分布,而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式 下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法 回回

连续型随机变量X所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能 象离散型随机变量那样, 以指定它取每个 值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法. 第二章 第3节 连续型随机变量

(一)概率密度函数 (I)直方图 请看演示 怎样画直方图 直方图与概率密度 回回

请看演示: 怎样画直方图 直方图与概率密度 （I）直方图 (一) 概率密度函数

(I)连续型r及其概率密度函数的定义 对于随机变量X,如果存在非负可积函数 fx),(-0,+∞),使得对任意a≤b,有 P(a≤X≤b)=f(x)dkx 则称X为连续型r,称fx为X的概率密度函 数,简称为概率密度或密度 回回

   = b a P(a X b) f (x)dx (−,+) ,使得对任意 a  b , 有 对于随机变量X ,如果存在非负可积函数 f(x) , x 则称 X为连续型r.v.,称f(x)为 X 的概率密度函 数，简称为概率密度或密度. (II) 连续型r.v.及其概率密度函数的定义

(ID)概率密度函数的性质 1°f(x)≥0 这两条性质是判定一个 函数f红x)是否为某X的 2°f(x)x=1概率密度函数的充要条件 面积为1 0 回回

(III) 概率密度函数的性质 1 o f (x)  0 2 o   − f (x)dx =1 这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件. f (x) x o 面积为1

3.对f(x)的进一步理解 若x是f(x)的连续点,则: x+△x P(x0 △x f(lr) 故X的密度fx在x这一点的值,恰好是 X落在区间(x,x+△x止上的概率与区间长度△x 之比的极限.这里,如果把概率理解为质量, ∫()相当于线密度 回回

故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度. (x, x + x] x 若x是 f(x)的连续点，则： x P x X x x x    ( ) lim   + →0 x ( ) lim 0  =  +  → x x x x f t dt =f(x) 3. 对 f(x)的进一步理解:

f(r) 0 要注意的是,密度函数f(x)在某点处a 的高度,并不反映X取值的概率.但是,这 个高度越大,则X取a附近的值的概率就越 大.也可以说,在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度 回回

要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a 的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度. f (x) x o

若不计高阶无穷小,有: P{x<X≤x+△x}=f(x)△x 它表示随机变量X取值于(x,x+Ax的 概率近似等于f(x)Ax f(x)Ax在连续型:u理论中所起的作用与 P(X=x)=p在离散型:理论中所起的 作用相类似 回回

若不计高阶无穷小，有： P{x  X  x + x} = f (x)x 它表示随机变量 X 取值于 的 概率近似等于 . (x, x + x] f (x)x f (x)x 在连续型r.v理论中所起的作用与 k pk P(X = x ) = 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似

4.连续型κν取任一指定值的概率为0 即:P(X=a)=0,a为任一指定值 这是因为 P(X=a)=lnP(a≤X0 +△ lim f(x)dx △x>0Ja 0 回回

4. 连续型r.v取任一指定值的概率为0. 即： P(X = a) = 0, a为任一指定值 这是因为 ( ) lim ( ) 0 P X a P a X a x x   = =   + →  + → = a x x a f x dx   lim ( ) 0 = 0

由此得,1)对连续型vX,有 P(a≤X≤b)=P(a<X≤b)=P(≤X<b) =P(a<X<b) 2)由P(X=a)=0可推知 P(XER-a)=f(x)dx-P(X=a)= 而{X=a}并非不可能事件, {X∈R-{a}并非必然事件 可见,由P(4)=0,不能推出A=0 由P(B)=1,不能推出B=2 回民

由此得， P(a  X  b) = P(a  X  b) = P(a  X  b) 1) 对连续型 r.v X,有 = P(a  X  b) 2) 由P(X=a)=0 可推知 (  − ) = ( ) − ( = ) =1   − P X R a f x dx P X a 而 {X=a} 并非不可能事件, 可见， 由P(A)=0, 不能推出 A =  {X  R −{a}} 并非必然事件 由P(B)=1, 不能推出 B= 