北京工业大学：《概率论与数理统计 Probability and Statistics》课程电子教案（PPT教学课件）第十四讲 第四章 数字特征 第2节 方差

第四章第二节 方差

第四章第二节 方 差

上一讲我们介绍了随机变量的数学期 望,它体现了随机变量取值的平均水平 是随机变量的一个重要的数字特征 但是在一些场合,仅仅知道平均值是 不够的 回回

上一讲我们介绍了随机变量的数学期 望，它体现了随机变量取值的平均水平， 是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是 不够的

例如,某零件的真实长度为a,现用甲 乙两台仪器各测量10次,将测量结果X用坐 标上的点表示如图 ●。●● 测量结果的甲仪器测量结果 均值都是a 较好 乙仪器测量结果 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣,你认为哪台仪器好一些呢? 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 回回区

例如，某零件的真实长度为a，现用甲、 乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐 标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣，你认为哪台仪器好一些呢？ a •••• • •• ••• 乙仪器测量结果 a • • • • • •• • • • 甲仪器测量结果 较好 测量结果的 均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近

又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹,其落点距目标的位置如图: 由心 中 乙较好 甲炮射击结果 乙炮射击结果 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 回回

又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙较好 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 中心 中心

为此需要引进另一个数字特征,用它 来度量随机变量取值在其中心附近的离 散程度 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差 回回

为此需要引进另一个数字特征,用它 来度量随机变量取值在其中心附近的离 散程度. 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差

方差的定义 设X是一个随机变量,若E{XE(XJ 0 则称 Var(X=E1X-E(12) 为X的方差 采用平方是为了保证一切 注:有的书上差值XE(X)都起正面的作用 记作D(X 由于它与X具有相同的度量单位,在实 际问题中经常使用 回回

一、方差的定义 采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用 由于它与X具有相同的度量单位，在实 际问题中经常使用. 设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2 }<∞， 则称 Var(X)=E{[X-E(X)]2 } (1) 为X的方差. 注：有的书上 记作D(X)

Var(X=EIX-E(X)I2 方差刻划了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度 若X的取值比较集中,则方差较小; 若X的取值比较分散,则方差较大 若方差Mr(X=0,则:v.X以概率1取常数值 回回

若X的取值比较分散，则方差较大 . 若方差Var(X)=0,则r.v. X 以概率1取常数值. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度. 若X的取值比较集中，则方差较小； Var(X)=E[X-E(X)]2

由定义知,方差是随机变量X的函数 g(X)=X-E(X2的数学期望 X为离散型, ∑[x4-E(X)pLPw Var(X)= k Lx-e(Xf(x)dx X为连续型, X-f(x) 回回

X为离散型， P{X=xk }=pk 由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 .      − − =    −  = [ ( )] ( ) , [ ( )] , ( ) 2 1 2 x E X f x dx x E X p Var X k k k X为连续型， X~f(x)

二、计算方差的一个简化公式 Var(X=E(X2)-E(X)I2 展开 证:Wr(X)=EXE(X)2 E{2-2XE(X+E(X)2} E(2)2|E(X)2+1FCX)2」利用期望 性质 =E(X)-E(X)2 请自己用此公式计算常见分布的方差 回回

二、计算方差的一个简化公式 Var(X)=E(X2 )-[E(X)]2 展开 证：Var(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2 -2XE(X)+[E(X)]2 } =E(X2 )-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2 )-[E(X)]2 利用期望 性质 请自己用此公式计算常见分布的方差

例1设rX服从几何分布,概率函数为 P(X=k)=p(1-p)1,k=1,2,,n 其中0<p<1,求r(X) 无穷递缩等比 解:记q=1p 级数求和公式 E(X)=∑如p k-1 p∑(q 求和与求导 交换次序厂=p∑q)=p,q k=1 9 p 回回

例1 设r.v. X服从几何分布，概率函数为 P(X=k)=p(1-p) k-1 , k=1,2,…，n 其中0<p<1,求Var(X) 解： 记q=1-p   = − = 1 1 ( ) k k E X kpq   = = 1 ( )' k k p q   = = 1 ( )' k k p q )' 1 ( q q p − = p 1 = 求和与求导 交换次序 无穷递缩等比 级数求和公式