北京工业大学：《概率论与数理统计 Probability and Statistics》课程电子教案（PPT教学课件）第十三讲 第四章 数字特征 第1节 数学期望

第四章第一节 数学期望

第四章第一节 数学期望

在前面的课程中,我们讨论了随机变量及 其分布,如果知道了随机变量X的概率分布, 那么X的全部概率特征也就知道了 然而,在实际问题中,概率分布一般是较 难确定的.而在一些实际应用中,人们并不需 要知道随机变量的一切概率性质,只要知道它 的某些数字特征就够了 因此,在对随机变量的研究中,确定某些 数字特征是重要的.其中最常用的是 期望和方差 回回

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及 其分布，如果知道了随机变量X的概率分布， 那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较 难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需 要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它 的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些 数字特征是重要的. 其中最常用的是 期望和方差

离散型随机变量的数学期望 概念的引入: 某车间对工人的生产情况 进行考察.车工小张每天生产 的废品数X是一个随机变量如 何定义X的平均值呢? 某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数 X是一个随机变量.如何定义X的平均值即该 交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢? 我们来看第一个问题 回回

一、离散型随机变量的数学期望 概念的引入： 某车间对工人的生产情况 进行考察. 车工小张每天生产 的废品数X是一个随机变量. 如 何定义X的平均值呢？ 某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数 X是一个随机变量. 如何定义X的平均值即该 交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？ 我们来看第一个问题

例1某车间对工人的生产情况进行考察.车工 小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如 何定义X的平均值呢? 32天没有出废品; 若统计100天, 30天每天出一件废品; 可以得到这100天中17天每天出两件废品 每天的平均废品数为 21天每天出三件废品; 32 30 17 21 +1 +2 +3 =1.27 100100100100 这个数能否作为 X的平均值呢? 回回

若统计100天, 例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工 小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如 何定义X的平均值呢？ 32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品; 1.27 100 21 3 100 17 2 100 30 1 100 32 0 +  +  +  = 可以得到这100天中 每天的平均废品数为 这个数能否作为 X的平均值呢？

可以想象,若另外统计100天,车工小张不 出废品,出一件、二件、三件废品的天数与 前面的100天一般不会完全相同,这另外100 天每天的平均废品数也不一定是127 般来说,若统计n天 n天没有出废品; (假定小张每天至多出 n1天每天出一件废品; 件废品) n2天每天出两件废品 n3天每天出三件废品 可以得到n天中每天的平均废品数为 0.-0+ n1 1.+2.+3.43 回回

可以想象，若另外统计100天，车工小张不 出废品，出一件、二件、三件废品的天数与 前面的100天一般不会完全相同，这另外100 天每天的平均废品数也不一定是1.27. n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品. n n n n n n n n0 1 2 3 0 +1 + 2  + 3 可以得到n天中每天的平均废品数为 (假定小张每天至多出 三件废品) 一般来说,若统计n天

0.-0+1 2.么 +3 这是 以频率为权的加权平均 由频率和概率的关系 不难想到,在求废品数X 的平均值时,用概率代替 这是 频率,得平均值为 以概率为权的加权平均 0·B+1+2B2+3. 这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为 随机变量X的平均值 回回

这是 n 以频率为权的加权平均 n n n n n n n0 1 2 3 0 +1 + 2  + 3 由频率和概率的关系 不难想到，在求废品数X 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为 0 p0 1 p1 2 p2 3 p3  +  +  +  这是 以概率为权的加权平均 这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为 随机变量X的平均值

定义1设X是离散型随机变量,它的概率分布 是:P{X=Xk}=pk,k=1,2 如果∑|xk|Pk有限定义X的数学期望 k=1 E(X)=∑xP 也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝 对收敛的级数的和 回回

定义1 设X是离散型随机变量，它的概率分布 是: P{X=Xk }=pk , k=1,2,… 也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝 对收敛的级数的和.   = = 1 ( ) k k k E X x p   =1 | | k k k 如果 x p 有限,定义X的数学期望

要了解数学期望的统计意义, 请看演示 数学期望的统计意义 回回

数学期望的统计意义 请看演示 要了解数学期望的统计意义

例2有4只盒子,编号为1,2,34现有3个球 将球逐个独立地随机放入4只盒子中去.用X表 示其中至少有一个球的盒子的最小号码.求 E(X) 解X所有可能取值是1,2,3,4 X=}表示1号盒中至少有1个球,它的对立事件 表示:一号盒中没有球,其概率为3 P{X=1}=1 43-3 4 4 (X=2}:1号盒中没有球,2号盒中至少有1个球 P{X=2} 4 回回

例2 有4只盒子,编号为1,2,3,4.现有3个球, 将球逐个独立地随机放入4只盒子中去.用X表 示其中至少有一个球的盒子的最小号码. 求 E(X). 解 X所有可能取值是1,2,3,4. P{X=1}=1- {X=1}表示1号盒中至少有1个球，它的对立事件 表示：一号盒中没有球，其概率为 3 3 4 3 3 3 4 3 {X=2}：1号盒中没有球，2号盒中至少有1个球 = 3 3 3 4 4 − 3 P{X=2}= 3 3 3 4 3 − 2

同样有 PX=3/=2- 最后 P{X=4}=1-P{X=1}-P{X=2}-P{X=3 于是E(X=25/16 回回

同样有 P{X=3}= 3 3 3 4 2 −1 最后 P{X=4}=1-P{X=1}-P{X=2}-P{X=3} = 3 4 1 于是 E(X)=25/16