北京工业大学：《概率论与数理统计 Probability and Statistics》课程电子教案（PPT教学课件）第三讲 第一章 随机事件 第4节 条件概率

第一章第四节 冬件欐率 应用数理学院

应用数理学院 第一章第四节 条件概率

第一章第四节条件欐率 条件概率 1.条件概率的概念 在解决许多概率问题时,往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率,将此概率记作P(4|B 般P(4|B)≠P(A) 回回

在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 一、条件概率 1. 条件概率的概念 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) ≠ P(A) 第一章第四节 条件概率

例如,掷一颗均匀骰子,A={掷出2点} B={掷出偶数点},P(A)=16,P(A4B)=? 已知事件B发生,此时试验掷骰子 所有可能结果构成的集合就是B, B中共有3个元素,它们的出现是 等可能的,其中只有1个在集4中,8 于是P(4|B)=13 容易看到 P(4|B) 116P(AB) 336P(B)回回区

P(A )=1/6， 例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， P(A|B)=？ 已知事件B发生，此时试验 掷骰子 所有可能结果构成的集合就是B， 于是P(A|B)= 1/3. B中共有3个元素，它们的出现是 等可能的，其中只有1个在集A中， 容易看到 ( ) ( ) 3 6 1 6 3 1 P B P AB P(A|B) = = =

又如,10件产品中有7件正品,3件次品, 7件正品中有3件一等品,4件二等品.现从这 10件中任取一件,记 A={取到一等品},B={取到正品 P(A)=3/10, P(AB 33/10P(AB) 77/10P(B) 回回

P(A )=3/10， 又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这 10件中任取一件，记 A={取到一等品}，B={取到正品} P(A|B) ( ) ( ) 7 10 3 10 7 3 P B P AB = = =

A={取到一等品},B={取到正品 P(A)=3/10,P(AB=3/7 本例中,计算P(4)时,依 据的前提条件是10件产品中 等品的比例 计算P(4B时,这个前提条件未变,只 是加上“事件B已发生”这个新的条件 这好象给了我们一个“情报”,使我们 得以在某个缩小了的范围内来考虑问题 回回

P(A )=3/10， B={取到正品} P(A|B)=3/7 本例中，计算P(A)时，依 据的前提条件是10件产品中一 等品的比例. A={取到一等品}， 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只 是加上“事件B已发生”这个新的条件. 这好象给了我们一个“情报”，使我们 得以在某个缩小了的范围内来考虑问题

2.条件概率的定义 设A、B是两个事件,且P(B)>0,则称 P(AB)= P(AB) (1) P(B) 为在事件B发生的条件下,事件4的条件概率 若事件B已发生,则为使 A也发生,试验结果必须是既 BABA)在B中又在4中的样本点,即 此点必属于AB.由于我们已经 c2知道B已发生,故B变成了新的 样本空间,于是有(1) 回回

若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1). 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 (1) ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B =  B ABA 2. 条件概率的定义 为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率

3.条件概率的性质 设B是一事件,且P(B)>0,则 1.对任一事件A,0≤P(4B)≤1; 2.P(|B)=1 3设A…,An,互不相容,则 P[(41+…+An+…川B=P(4nB)+…+P(A1B)+ 而且,前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率 回回

3. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; 2. P(Ω|B)=1. 3.设A1 ,…,An ,…互不相容，则 P[(A1+…+An+…)| B] = P(A1 |B)+ …+P(An |B)+… 而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率

例如,对任意事件A和A2,有 P(A, UA B) =P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B) 其他性质请自行写出 回回

例如,对任意事件A1和 A2 ,有 P(A1∪A2|B) =P(A1|B)+P(A2|B)- P(A1A2|B). 其他性质请自行写出

4.条件概率的计算 1)用定义计算: P(AB)= P(AB) P(B), P(B>0 2)从加入条件后改变了的情况去算掷骰子 例:A=掷出2点,B={掷出偶数点}「的 P(AB)s IN B发生后的 在缩减样本空间 缩减样本空间 中A所含样本点 所含样本点总数 个数 回回

2)从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算 1) 用定义计算: , ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = P(B)>0 掷骰子 例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点} P(A|B）= 3 1 B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数

例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10的概率是多少? 解:设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 应用定义 解法1 P(AB)= P(AB)3/361 P(B)6/362 解法2:P(A|B)= 31 62 在B发生后的 缩减样本空间 中计算 回回

例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法1: ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = 解法2: 2 1 6 3 P(A| B) = = 解: 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 应用定义 在B发生后的 缩减样本空间 中计算 2 1 6 36 3 36 = =