广州大学：《高等数学》课程教学资源（教案讲义）由平行截面积求体积

§2由平行截面面积求体积 上节我们学习了平面图形面积的计算,还利用分割、求和的分析方法,导出 了极坐标下平面图形的 面积公式 8=(0 现在我们看下面一个空间立体,假设我们知道它在x处截面面积为S(x),可 否利用类似于上节极坐标 下推导面积公式的思想求出它的体积? SExi 如果像切红薯片一样,把它切成薄片,则每个薄片可近似看作直柱体,其体 积等于底面积乘高, 所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积。 4vwE(x)△ V=S(x)dx 由此可得 这里,体积的计算的关键是求截面面积S(x),常用的方法先画出草图,分析 图象求出S(x) 例1求两圆柱 x +y=a,x+Z=a 所围的立体体积

§ 2 由平行截面面积求体积 上节我们学习了平面图形面积的计算，还利用分割、求和的分析方法，导出 了极坐标下平面图形的 面积公式： 现在我们看下面一个空间立体，假设我们知道它在 x 处截面面积为 S(x)，可 否利用类似于上节极坐标 下推导面积公式的思想求出它的体积？ 如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体 积等于底面积乘高， 所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积。 即 由此可得 这里，体积的计算的关键是求截面面积 S(x) , 常用的方法先画出草图，分析 图象求出 S(x) 例 1 求两圆柱 所围的立体体积

z R R z R

先画出两圆柱的图象,图中看到的是所求立体的八分之一的图像,该立体被 平面x= 因为两圆柱半径相同)所截的截面,是一个边长为2-42的正方形 所以截面 面积S(5)=a2-5,考虑到是8个卦限,所以有 int(8*(a^2-x^2)’,0,"a’) ans=16/3*a3 =8(a2-x)kx= 再看一个例题 例2 求椭圆柱16100 与坐标面z=0,斜面 ,所围部分的体积.(cd7)(cd8) 由图可以看出,底面椭圆方程是:1612D=1=y2=10025x2 截面是与yz平面平行的三角形 截面1(兰)三角形面积等于25;

先画出两圆柱的图象，图中看到的是所求立体的八分之一的图像, 该立体被 平面 （因为两圆柱半径相同）所截的截面, 是一个边长为 的正方形, 所以截面 面积 ,考虑到是 8 个卦限，所以有 int('8*(a^2-x^2)',0,'a') ans = 16/3*a^3 再看一个例题 例 2 求椭圆柱 与坐标面 , 斜面 , 所围部分的体积. (cd7) (cd8) 由图可以看出, 底面椭圆方程是： 截面是与 yz 平面平行的三角形 截面 1（兰）三角形面积等于 25；

y2=100 截面2(红)三角形的底边平方 因两三角形相似 42525x 16 int(50*(1-(x2)/16)’,0,4) ans=400/3 例3r=a(1+os8),(a>0)绕极轴旋转所得的体积 若对心脏线作如图所示的次分割,则每个小扇形旋转可看作小球带锥,其 对应的球带宽度7△8 球带半径为7皿8从而所以球带面积为2758A整个旋转体体积 v=52m3(0)sin 0==a(+cos 8)sin &ue 由分析和上面几个例题看出,只要知道了截面面积函数就可以用定积分来解 决立体的体积计算问题。 我们在看一个演示,看能否从中找出计算抛物面被一平面所截后的体积

截面 2（红）三角形的底边平方 ； 因两三角形相似 int('50*(1-(x^2)/16)',0,4) ans =400/3 例 3 绕极轴旋转所得的体积 若对心脏线作如图所示的次分割, 则每个小扇形旋转可看作小球带锥, 其 对应的球带宽度 球带半径为 从而所以球带面积为 整个旋转体体积 为 由分析和上面几个例题看出，只要知道了截面面积函数就可以用定积分来解 决立体的体积计算问题。 我们在看一个演示，看能否从中找出计算抛物面被一平面所截后的体积