广州大学：《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第八章 不定积分 8.1 不定积分概念与基本积分公式

第八章不定积分 §1不定积分概念与基本积分公式 教学内容:1)不定积分的概念 2)不定积分与微分的关系 3)不定积分的基本积分公式 4)不定积分的线性性质 重点:不定积分与微分的关系,基本积分公式 要求:熟记基本积分公式和不定积分的线性性质 原函数与不定积分 前面我们学习了导数与微分,由已知函数利用基本求导公式和求导法则可以 求出它的导数,那自然会 想到:求导运算能否和数的四则运算那样,知道了导数反过来就能求出 J(x),比如知道了物体的运 动速度,求路程,知道了加速度求速度? 例1一个静止的物体,其质量为m在力F= Asin t的作用下沿直线运动, 求物体的运动速度。 F dv F Asin t A sin t 解由牛顿第二定理 即 dt mm 这就归结为已知dt求v,由求导运算 A A sin t cost+C

第八章 不 定 积 分 §1 不定积分概念与基本积分公式 教学内容：1）不定积分的概念 2）不定积分与微分的关系 3）不定积分的基本积分公式 4）不定积分的线性性质 重点：不定积分与微分的关系，基本积分公式 要求：熟记基本积分公式和不定积分的线性性质 一 原函数与不定积分 前面我们学习了导数与微分，由已知函数利用基本求导公式和求导法则可以 求出它的导数，那自然会 想到：求导运算能否和数的四则运算那样，知道了导数 反过来就能求出 ，比如知道了物体的运 动速度，求路程，知道了加速度求速度？ 例 1 一个静止的物体，其质量为 m 在力 的作用下沿直线运动， 求物体的运动速度。 解 由牛顿第二定理 即 这就归结为已知 求 ， 由求导运算

cost+c ,其中C为待定常数,若初始时刻是静止的v0=0 0=y(0)=--cos0+C→C coSt+ 从而得 我们称这类由f(x)求J(x)的运算为积分法 定义(原函数)如果在区间I上F(x)=f(x),则称F(x)为f(x)在 区间I上的原函数。 A cost+c sin t 例如例1中的m 是m的原函数:a+1是 x“(a≠-)的原函数,等等 因为常数导数为零,所以如果f(x)的原函数2(x)存在,则对任意常数C, p(x)+C都是f(x)的原函数。 这就是说,原函数存在的话,它有无限多个。而且容易证明,f(x)的任意两个 原函数之间相差一个常数。 换句话说(x)>的原函数的全体为(F(x)+C),C为任意常数。 定义(不定积分)f(x)>在区间1上原函数的全体称为f(x)在1上的不定 积分。记作 ∫(x)kx 其中」为积分号,f(x)为积分函数,x为积分变量。 不定积分的几何意义

得 ， 其中 C 为待定常数，若初始时刻是静止的 从而得 我们称这类由 求 的运算为积分法。 定义（原函数）如果在区间 I 上 ，则称 为 在 区间 I 上的原函数。 例如例 1 中的 是 的原函数； 是 的原函数，等等 因为常数导数为零，所以如果 的原函数 存在，则对任意常数 C， 都是 的原函数。 这就是说，原函数存在的话，它有无限多个。而且容易证明， 的任意两个 原函数之间相差一个常数。 换句话说 >的原函数的全体为 ，C 为任意常数。 定义（不定积分） >在区间 I 上原函数的全体称为 在 I 上的不定 积分。记作 。 其中 为积分号， 为积分函数， 为积分变量。 不定积分的几何意义

个函数的原函数尽管有无限多个,但它们的几何图形是一模一样 的,最多是在坐标系中的高低位 置不一样,相差一个上下平移关系 基本积分公式 怎样求不定积分呢?我们先按照不定积分的定义给出一些常见函数的不定 积分: x“aix(a≠-1) dx=In x+c sin xdx=-cosx+C

一个函数的原函数尽管有无限多个, 但它们的几何图形是一模一样 的, 最多是在坐标系中的高低位 置不一样, 相差一个上下平移关系。 二 基本积分公式 怎样求不定积分呢？我们先按照不定积分的定义给出一些常见函数的不定 积分：

c 2 xdx= tgx+c csc dx=-ctgx+C sec x. tgxdx= sec x+C scx. ctgxdx=-csc x +C X arcsin x+C Iidx=arctgx+C 这些积分公式是我们后面计算不定积分的基础,一定要把它记住。 不定积分的基本性质:以下设()和8(x)有原函数 f(x)dx]=f(x), f(rdx=f(x)dx (先积后导,形式不 变). Jr(x)dx=f(x)+c, df(x)=f(x)+c (先导后积,多个 常数) c≠0 a (x)dx=al f(x)dx ∫()±g()=(士g(xh 由(3)、(4可见,不定积分是线性运算,即对a,A∈R,有 a(x)+Bg(x)dx=al f(r)dx+8 g(x)dx (当α=B=0时,上式右端应理解为任意常数 利用不定积分基本公式计算不定积分 例6 P(x)=a0x2+a1x2+…+a21x+a2 求 P(xdx

这些积分公式是我们后面计算不定积分的基础，一定要把它记住。 不定积分的基本性质: 以下设 和 有原函数. ⑴ . (先积后导, 形式不 变). ⑵ . (先导后积, 多个 常数) ⑶ >时， ⑷ 由 ⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对 , 有 ( 当 时,上式右端应理解为任意常数. ) 三．利用不定积分基本公式计算不定积分 例 6 ， 求

(x2-1+-2) 例 1+x2 例8 例9 例10」(102-102)2ax (2) cos 2x 1-2sin 例11 例12

例 7 . 例 8 . 例 9 . 例 10 ⑴ ; ⑵ 例 11 . 例 1 2