广州大学：《高等数学》课程教学资源（教案讲义）无穷积分的性质

无穷积分的性质 (1)f(x)在区间[a,+)上可积,k- Const,则函数kJ(x)在区 间[a,+∞)上可积 f(xdx=k f(xda (2)f(x)和g(x)在区间[a,+0)上可积,→(x)±g(x)在区间 a,+ (±g)=]±]g 上可积,且 无穷积分收敛的 Cauchy准则:(翻译F(A)→B,A→>+0 f(xdx 定理积分a 收敛 台ve>0,丑A,VA,A">A,→f(x)axe (4)绝对收敛与条件收敛:定义概念 绝对收敛→收敛,(证) 但反之不确.绝对型积分与非 绝对型积分 无穷积分收敛判别法

无穷积分的性质: ⑴ 在区间 上可积 , — Const , 则函数 在区 间 上可积 , 且 . ⑵ 和 在区间 上可积 , 在区间 上可积 , 且 . ⑶ 无穷积分收敛的 Cauchy 准则: ( 翻译 ) 定理 积分 收敛 . ⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念. 绝对收敛 收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非 绝对型积分 无穷积分收敛判别法

非负函数无穷积分判敛法:对非负函数,有F(4,非负函数无穷积分敛 散性记法. 比较判敛法 设在区间[a,+)上函数f(x)和g(x) 负且 ∫(x)≤g(x),又对任何A>a,J(x)和g(x)在区间[a,A]上可积.则 g +∞.(证) sn(1+x2) 例1判断积分0 的敛散 比较原则的极限形式:设在区间[a,+∞)上函数 g>0,f≥0x→g >0<c<+0 共敛 散 g +0时, 时, 证)

非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有 ↗. 非负函数无穷积分敛 散性记法. ⑴ 比较判敛法: 设在区间 上函数 和 非 负且 ，又对任何 > , 和 在区间 上可积 . 则 , , 时, . ( 证 )

Cauch判敛法:(以x’为比较对象,即取g(x)=x2.以 下a>0) 对任何A>a,J(x)∈Ca,A 0≤f(x)≤x2P J(x)2x且P≤1, Cauch判敛法的极限形式:设f(x)是在任何有限区间a,A]上可积的 正值函数 lim x'f(x)=a 且 则 >1,0≤p1,00 i 其他判敛法 Abe/判敛法:若f(x)在区间[a,+)上可积,g(x)单调有界,则积

⑵ Cauchy 判敛法: ( 以 为比较对象, 即取 .以 下 > 0 ) 对任何 > , , 且 , . ( 证 ) 例 2 讨论以下无穷积分的敛散性 : ⅰ> ⅱ> [1]P 324 E6 ⑶ 其他判敛法: Abel 判敛法: 若 在区间 上可积 , 单调有界 , 则积 分

f(x)g(x)dx 收敛 Dirichlet判敛法:设“(4小=f 在区间[a,+∞)上有界,g(x)在 上单调,且当x→∞时,g(x)→0.则积分f(x)(x)a 收敛 例6讨论无穷积分1x2与x2“(p>0)的敛散 性.[l]P325E7 例7证明下列无穷积分收敛,且为条件收敛 xsin xd [1]P326E8 例8(乘积不可积的例)设(x)√,x∈[1,+).由例6的 结果, f(x)dx f(x)(x)=[sn'xdx 积分1 收敛.但积分1 x却发散.(参阅 例6)

收敛. Dirichlet 判敛法: 设 在区间 上有界 ， 在 上单调，且当 时， . 则积分 收敛. 例 6 讨论无穷积分 与 的敛散 性. [1]P325 E7 例 7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 : , , . [1]P326 E8 例 8 ( 乘积不可积的例 ) 设 , . 由例 6 的 结果, 积分 收敛 . 但积分 却发散.( 参阅 例 6 )