中国水利水电出版社：《线性代数》课程讲稿（PPT课件）第02章 矩阵

)第2章矩阵 2.1矩阵的概念

第2章 矩阵 2.1 矩阵的概念

21.1矩阵的定义 n定义1由m×n个数an(i=1,2,…,m,j=1,2.…,n) 按一定顺序排成m行n列的数表 A= 21 ml a 2 称为一ˆⅥ行n列矩阵,简称m×n矩阵,记为 A或An,其中表示位于第i行第j产列的数, 称为A的元素(或元),所以m×n矩阵也可以简 记为(an)或(an)mn

 2.1.1矩阵的定义  定义1 由 个数 按一定顺序排成 行 列的数表 称为一个 行 列矩阵，简称 矩阵，记为 或 ，其中 表示位于第 行第 列的数, 称为 的元素（或元），所以 矩阵也可以简 记为 或 ． m n ( 1, 2, , , 1, 2, , ) ij a i m j n = = m n 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       A A m n ´ ij a i j ( )ij a ( )ij m n a ´ ． m n m n A m n

2.1.2几种特殊形式的矩阵 ■(1)行矩阵当m=1时,即只有一行的矩阵 A=(a, a,L a,) 或 A=(a1,2a2,L 称为行矩阵或行向量 (2)列矩阵当n=1时,即只有一列的矩阵 B 称为列矩阵或列向量

 2.1.2 几种特殊形式的矩阵  （1）行矩阵 当 时，即只有一行的矩阵 或 称为行矩阵或行向量． （2）列矩阵 当 时，即只有一列的矩阵 称为列矩阵或列向量． m =1 1 2 ( ) A a a a = L n 1 2 ( , , , ) A a a a = L n n =1               = bm b b B  2 1

(3)零矩阵所有元素全为零的矩阵称为零 矩阵,记为O.例如,m×n的零矩阵可记为 00 00 n×n 00 (4)方阵行数和列数都等于n的矩阵,称 为n阶矩阵或n阶方阵,记为A

 （3）零矩阵 所有元素全为零的矩阵称为零 矩阵，记为 ．例如， 的零矩阵可记为  （4）方阵 行数和列数都等于 的矩阵，称 为 阶矩阵或 阶方阵，记为 ， O m n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Om n       =       ． n n n A n

2 2n ●鲁鲁 n2 nn n其中元素a1,a2,…,am称为n阶方阵的主对角 元素,过元素41,2…Mm直线称为阶方阵 的主对角线 (5)m阶对角阵非主对角元素全为零的阶方 阵称为n阶对角矩阵,即 =0(i≠j;i,j=1,2,…,n)

 即  其中元素 称为 阶方阵的主对角 元素，过元素 的直线称为 阶方阵 的主对角线． （5） 阶对角阵 非主对角元素全为零的 阶方 阵称为 阶对角矩阵，即 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n n nn a a a a a a A A a a a       = =       11 22 , , , nn a a a n 11 22 , , , nn a a a n n n n 0 ( ; , 1, 2, , ) ij a i j i j n =  =

记为 a10 o a 00 A=diag(a12a2…,an)= 或 其中未写出的元素全为零

 记为 1 2 1 2 0 0 0 0 diag( , , , ) 0 0 n n a a a a a a      = =         或 1 2 n a a a             其中未写出的元素全为零．

(6)n阶单位矩阵主对角元素全为1,其余 元素全为零的n阶方阵称为n阶单位矩阵, 即an=1(=1,2…m)且an=0(i≠jb,j=1,2,…n) 记为 01 0 E=E 00 或

 （6） 阶单位矩阵 主对角元素全为1，其余 元素全为零的 阶方阵称为 阶单位矩阵， 即 且 记为 或 n 1 ( 1, 2, , ) ii a i n = = =  = 0 ( ; , 1, 2, , ), ij a i j i j n n n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E En       = =       1 1 1            

(7)n阶数量矩阵主对角元素等于同一个数 k的n阶对角阵,称为n阶数量矩阵,记为 k 0 0k·0 kE= 00 k 或 k k

 （7） 阶数量矩阵 主对角元素等于同一个数 的 阶对角阵，称为 阶数量矩阵，记为 或 k 0 0 0 0 0 0 k k kE k       =       k k k             ． n n n

2.2矩阵的运算

2.2 矩阵的运算

■22.1矩阵的线性运算 ■1.矩阵的加法 定义2两个mn的同型矩阵A=(a)和B=(b)的 对应元素相加,所得mn的矩阵称为矩阵A与 B的和,记为C=A+B,即 a,+bu a1+b tb In a, tb tb C= A+B +62 an+bnan2+bn…amn+b h +b)

 2.2.1 矩阵的线性运算  1．矩阵的加法  定义2 两个 的同型矩阵 和 的 对应元素相加，所得 的矩阵称为矩阵 与 的和,记为 ，即 m n ´ ( ) A a = ij ( ) B b = ij A B C A B = + m n ´ C A B = + 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2   + + +   + + +   =       + + + n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b ( ) ij ij = + a b