广州大学：《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第四章 函数连续性 4.1 连续性的概念

第四章函数连续性 §1连续性的概念 内容:1函数在点x0连续性 2间断点及其的分类 3区间上的连续函数 重点:函数在点的连续性 难点:连续性的证明 要求:理解连续的定义,间断点的 分类,会用用x0定义证明函数的 连续性 二函数在一点的连续的定义 先回顾一下xo函数m(x)=A

1 第四章 函数连续性 §1 连续性的概念 内容： 1 函数在点 连续性 2 间断点 0 x 及其的分类 3 区间上的连续函数 重点：函数在点的连续性 难点：连续性的证明 要求：理解连续的定义，间断点的 分类，会用用 定义证明函数的 连续性。 一 函数在一点的连续的定义 先回顾一下 函数

在点的极限 设函数(x)在x的某个空心邻域 内有定义,A是一个确定的数,若对 yE>0,彐6>0 ,当 0<x-x|<8 时,都 有|()-A<,则称f(x)在 x→而时,以A为极限。 这里()可以有三种情况: 1)()无定义,比如上章讲过的 sin( x lim 特殊极限 x→3X no

2 在点的极限 设函数 在 的某个空心邻域 内有定义， 是一个确定的数，若对 ，当 时，都 有 ，则称 在 时，以 为极限。 这里 可以有三种情况： 1） 无定义，比如上章讲过的 特殊极限

X≠X f(x0)≠A ,比如 x+1,x=07 imf(x)=x0≠f(x0) x→3 2)的情形 1)的情形 3 f(xo)=A

3 2） ，比如 ， 3） 2）的情形 1）的情形

3)的情 形 对1)、2)两种情况,曲线在处 都出现了间断;第3)种情况与前两 种情况不同,曲线在处连绵不断 ,我们称这种情况即:mf(x)=4=(x) 时,(在和处连续。为此给出函 数(x)在点x0连续的定义 定义1设函数(x在的某邻域 内有定义,若

4 对 1）、2）两种情况，曲线在 处 都出现了间断; 第 3）种情况与前两 种情况不同，曲线在 处连绵不断 ，我们称这种情况即： lim ( ) ( ) 0 f x A f x x xo = = → 时， 在 处连续。为此给出函 数 在点 连续的定义 定义 1 设函数 在 的某邻域 内有定义，若： 3）的情 形

imnf(x)=了(x0) 则称函数(x)在0点连续。 例如函数(x)=2+1在点 x=2连续,因为 mf(x)=lm(2x+2)=5=f(2 2 x→2 又如,函数:

5 则称函数 在 点连续。 例如 函数 在点 连续，因为 ， 又如，函数:

xsin-,x≠0 f(x)= X X 在x=0处 连续。因为 lim f(x)=lim xsin-=0=f(O) x→0 x→0 X 说明:1、定义1的等价定义 若记 Ax=x-xo, Ay=f(x)-f(xo) mf(x)=()可等价的叙述为 X→8 lm Ay=0 X→x ,于是函数()在x点 连续的定义又可以叙述为 6

6 在 处 连续。因为 说明：1、定义 1 的等价定义 若记 ： ，则 可等价的叙述为 ，于是函数 在 点 连续的定义又可以叙述为:

定义1设函数()在x0的某 Ay= 0 邻域内有定义,若:xAx 则称(x)在x点连续 另外,由于函数x)在点连续 是用极限形式表述的,若将 lm f(x)=f(xo) X→3 改用8-语言叙述, 则 fx)在x0点连续又可以定义为: 定义1”设函数(x在的某邻域 内有定义,若对 yE>0.彐6>0 使

7 定义 1’ 设函数 在 的某 邻域内有定义，若: 则称 在 点连续。 另外，由于函数 在 点连续 是用极限形式表述的，若将 改用 语言叙述， 则 在 点连续又可以定义为： 定义 1” 设函数 在 的某邻域 内有定义，若对 ，使

得当x-x时,都 有:(x)-(x)< 则称(x)在点连续。 注意:函数(x)在0点连续,不仅 要求(x在0点有定义,而且要求 x→而时,f(x)的极限等于f(x0), 因此这里在极限的“-6”语言叙 述中把0<|x-x|<6 换成了 X一X lm f(x=f(xo) 最后, 式又可表示为 X→ X→ ,可见

8 得当 时，都 有 : 则称 在 点连续。 注意: 函数 在 点连续，不仅 要求 在 点有定义，而且要求 时， 的极限等于 ， 因此这里在极限的“ ” 语言叙 述中把 换成了: 。 最后， 式又可表示为 ,可见

在x=0连续意味着极限运算 x→xa与对应法则的可交换性。 例1证明函数(x)=xD(x)在点 x=0连续其中(为狄利克雷函 数。 证明由=0及(51,对于 任意的 8> 为使 f(x)f(O=xDx< x=x-o<s 所以只要取5=E,即可按E-O定 义推得在连续

9 在 连续意味着极限运算 与对应法则 的可交换性。 例 1 证明函数 在点 连续,其中 为狄利克雷函 数。 证明 由 及 ，对于 任意的 ，为使 f (x) − f (0) = x D(x)  x = x − 0   所以只要取 ，即可按 定 义推得在连续

2、函数在一点的左、右连续的定义 相应于在的左、右极限的概念,我 们给出左右连续的定义如下: 定义2设函数()在x0的某 左(右)邻域内有定义,若: lim f(x) =f(ro) lim f(x)=f(ro) x→x x→k+ 则称()在0点左(右)连续。 由极限与单侧极限的关系不难得 出 3、函数在点连续与函数在该点左、 右连续的关系:

10 2、函数在一点的左、右连续的定义 相应于在的左、右极限的概念，我 们给出左右连续的定义如下： 定义 2 设函数 在 的某 左（右）邻域内有定义，若： （ ） 则称 在 点左（右）连续。 由极限与单侧极限的关系不难得 出： 3、函数在点连续与函数在该点左、 右连续的关系：