《电路》课程教学资源（教案讲义）第8章 相量法

电路A教案 第八章相量法 第八章相量法 §8-1复数 相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表 示形式及运算规则。 一、复数的四种表示形式 代数形式 A=a +jb 极坐标形式AA。”A∠日 指数表示形式AAe”A(cosB+jsim 在复平面上表示 注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关 系，这对复数的运算非常重要。 二、复数的运算 0 1.加减运算一采用代数形式比较方便。 若A=4+%A=a2+6 则A±A=(a+6)±(a2+jb)=(a±a)+j%±6) 复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得 2。乘除运算一一采用指数形式或极坐标形式比较方便。 若A=4le=4∠8A=4e=4l∠0， 则AA=Aea4em=A4k9=4A上8+8 4=lAe=4∠8-lAe1=4∠8，+9， A,4em14∠8，A, A (3)旋转因子 由复数的乘除运算得任意复数A乘或除复数e°，相当于A逆时针或顺时针旋转一个 第1页共8页

电路 A 教案 第八章 相量法 第 1 页 共 8 页 §8－1 复数 相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表 示形式及运算规则。 一、复数的四种表示形式 代数形式 A = a +jb 极坐标形式 指数表示形式 在复平面上表示 注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关 系，这对复数的运算非常重要。 二、复数的运算 1. 加减运算－采用代数形式比较方便。 若 则 复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得。 2. 乘除运算 —— 采用指数形式或极坐标形式比较方便。 若 则 (3)旋转因子 由复数的乘除运算得任意复数 A 乘或除复数 ，相当于 A 逆时针或顺时针旋转一个

电路A教案 第八章相量法 角度0，而模不变。故把e称为旋转因子。 当0=号e片eo±jm= 当8=土r，g出=cos(t)+jsim(±)=-1 故+j,-j,-1都可以看成旋转因子。 §8一2正弦量 一、正弦量 电路中按正弦规律变化的电压或电流统称为正弦量，以电流为例，其瞬时值表达 式为（本书采用cosine函数）： it)=I cos(mt+y） 波形图 二、正弦量的三要素 (1)【人一幅值（振幅、最大值）：反映正弦量变化过程中所能达到的最大幅度。 (2)ω一角频率：为相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。它与周期和频率 的关系为： 0=2x寸=2hrad/5 (3) 一初相角：反映正弦量的计时起点，常用角度表示。 需要注意的是： 1)计时起点不同，初相位不同。 2)一般规定初相位取主值范围，即「≤算。 3)如果余弦波的正最大值发生在计时起点之后，则初相位为负，如果余弦波的 正最大值发生在计时起点之前，则初相位为正。 第2页共8页

电路 A 教案 第八章 相量法 第 2 页 共 8 页 角度 θ，而模不变。故把 称为旋转因子。 当 当 故+j，–j，-1 都可以看成旋转因子。 §8－2 正弦量 一、正弦量 电路中按正弦规律变化的电压或电流统称为正弦量，以电流为例，其瞬时值表达 式为（本书采用 cosine 函数）： 波形图 二、正弦量的三要素 （1）Im－幅值(振幅、最大值)：反映正弦量变化过程中所能达到的最大幅度。 （2）ω－角频率：为相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。它与周期和频率 的关系为： rad/s （3） —初相角：反映正弦量的计时起点，常用角度表示。 需要注意的是： 1）计时起点不同，初相位不同。 2）一般规定初相位取主值范围，即 | |≤π 。 3）如果余弦波的正最大值发生在计时起点之后，则初相位为负，如果余弦波的 正最大值发生在计时起点之前，则初相位为正

电路A教案 第八章相量法 4)对任一正弦量，初相可以任意指定，但同一电路中许多相关的正弦量只能对 于同一计时起点来确定各自的相位。 三、相位差 相位差是用来描述电路中两个同频正弦量之间相位关系的量。 设u)=U,cos(@t+g.）0=【cos(@ot+g,) 则相位差为：9=(@t+.)-(@t+,)=。-g, 上式表明同频正弦量之间的相位差等于初相之差，通常相位差取主值范围，即： 1中≤π 如果上式中如中>0，称u超前i,或i滞山，表明u比i先达到最大值。 如中<0，称i超前山，或u滞后i,表明i比u先达到最大值。 如中=士n,称i与u反相。 如中=0，称i与u同相。 需要注意的是：两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符且在主 值范围比较。 四、正弦电流、电压的有效值 1.有效值概念 2.有效值与最大值满足关系： I=v2I U=方或=刷 §8一3相量法的基础 正弦稳态线性电路中，和各支路的电压和电流响应与激励源是同频率的正弦量， 因此应用基尔霍夫定理分析正弦电路将遇到正弦量的相减运算和积分、微分运算，在 时域进行这些运算十分繁复，通过借用复数表示正弦信号可以使正弦电路分析得到简 化。 一、正弦量的相量表示 设：i=V2cs(@t+9)分4Ae)=V2e, 第3页共8页

电路 A 教案 第八章 相量法 第 3 页 共 8 页 4）对任一正弦量，初相可以任意指定，但同一电路中许多相关的正弦量只能对 于同一计时起点来确定各自的相位。 三、相位差 相位差是用来描述电路中两个同频正弦量之间相位关系的量。 设 则相位差为： 上式表明同频正弦量之间的相位差等于初相之差，通常相位差取主值范围，即： |φ|≤π 如果上式中 如 φ＞0，称 u 超前 i，或 i 滞 u，表明 u 比 i 先达到最大值。 如 φ＜0，称 i 超前 u，或 u 滞后 i，表明 i 比 u 先达到最大值。 如 φ=±π，称 i 与 u 反相。 如 φ=0，称 i 与 u 同相。 需要注意的是：两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符且在主 值范围比较。 四、正弦电流、电压的有效值 1. 有效值概念 2. 有效值与最大值满足关系： §8－3 相量法的基础 正弦稳态线性电路中，和各支路的电压和电流响应与激励源是同频率的正弦量， 因此应用基尔霍夫定理分析正弦电路将遇到正弦量的相减运算和积分、微分运算，在 时域进行这些运算十分繁复，通过借用复数表示正弦信号可以使正弦电路分析得到简 化。 一、正弦量的相量表示 设：

电路A教案 第八章相量法 称复常数i=∠型为正弦量i()对应的相量，它包含了i()的两个要素1，y。任 意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的相量，即： )=21cos(amt+平)台i=l∠Y 注意：相量的模为正弦量的有效值，相量的幅角为正弦量的初相位。同样可以建 立正弦电压与相量的对应关系： 0=√2Ucos(@t+0)台i=U∠e 二、相量图 在复平面上用向量表示相量的图称为相量图。如已知相量 i=1∠0=U∠6 则对应的相量图如图所示。辐角为零的相量称为参考相量。 三、相量法的应用 1.同频率正弦量的加减 (t)=12U cos(at+)=Re(2i1e) 42)=√2U,cos(at+￥)=Re(2i2e 其相量关系为：0=心+功， 1±I2=I 故同频正弦量相加减运算可以转变为对应相量的相加减运算。 (2)正弦量的微分、积分运算 设间=5Icos@t+平，=Re(2ie) di 对应的相量为J0i=01∠：+3 第4页共8页

电路 A 教案 第八章 相量法 第 4 页 共 8 页 称复常数 为正弦量 i(t)对应的相量，它包含了 i(t)的两个要素 I ,Y 。任 意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的相量，即： 注意：相量的模为正弦量的有效值，相量的幅角为正弦量的初相位。同样可以建 立正弦电压与相量的对应关系： 二、相量图 在复平面上用向量表示相量的图称为相量图。如已知相量 则对应的相量图如图所示。辐角为零的相量称为参考相量。 三、相量法的应用 1. 同频率正弦量的加减 其相量关系为： 故同频正弦量相加减运算可以转变为对应相量的相加减运算。 （2）正弦量的微分、积分运算 设 对应的相量为

电路A教案 第八章相量法 直.1∠w,-h ∫idt对应的相量为jm⑧ 以上式子说明正弦量的微分是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量的相量引 乘以J@，正弦量的积分也是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量i的相量除以 j】 RLC串联电路，由KVL得电路方程为 0=++ 根据正弦量与相量的关系得以上微积分方程对应的相量方程为： 0-Rl+jail+-1 c 因此引入相量的优点是： (1)把时域问题变为复数问题： (2)把微积分方程的运算变为复数方程运算： 需要注意的是： 1)相量法实质上是一种变换，通过把正弦量转化为相量，而把时域里正弦稳态 分析问题转为频域里复数代数方程问题的分析： 2)相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 3)相量法用来分析正弦稳态电路。 §8一4电路定律的相量形式 一、电阻元件VCR的相量形式 1.电压与电流的关系 设流过电阻的电流为 t)=2Icos(at+里，) 则电阻电压为： 4)=R=巨RI cos(at+平) 其相量形式：=∠g=RZg (0R 第5页 共8页

电路 A 教案 第八章 相量法 第 5 页 共 8 页 对应的相量为 以上式子说明正弦量的微分是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量 i 的相量 乘以 ，正弦量的积分也是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量 i 的相量 除以 。 RLC 串联电路，由 KVL 得电路方程为 根据正弦量与相量的关系得以上微积分方程对应的相量方程为： 因此引入相量的优点是： （1）把时域问题变为复数问题； （2）把微积分方程的运算变为复数方程运算； 需要注意的是： 1）相量法实质上是一种变换，通过把正弦量转化为相量，而把时域里正弦稳态 分析问题转为频域里复数代数方程问题的分析； 2）相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 3）相量法用来分析正弦稳态电路。 §8－4 电路定律的相量形式 一、电阻元件 VCR 的相量形式 1. 电压与电流的关系 设流过电阻的电流为 则电阻电压为： 其相量形式：

电路A教案 第八章相量法 以上式子说明： 1)电阻的电压相量和电流相量满足复数形式的欧姆定律：·：=R1 (2)电阻电压和电流的有效值也满足欧姆定律：=肛 (3)电阻的电压和电流同相位，即：u=1 2.电阻的瞬时功率为： pg=4=V2Ua21cos2(awt+Ψ)=U1+cos2(at+Ψ】 即瞬时功率以2。交变，且始终大于零，表明电阻始终吸收功率 二、电感元件VCR的相量形式 1.电压电流关系： 设流过电感的电流为 )=21cos(诚+里，)则 4,0=Lite=-2 ol Isin(ot+g）=反wLIcos@t+-g,+ dt 对应的相量形式分别为：上=∠g立，=@1∠g,+2 以上式子说明： (1)电感的电压相量和电流相量满足关系：立，=J风1= 其中=wL=2元L,称为感抗，单位为Q(欧姆)。 (2)电感电压和电流的有效值满足关系：，=公口 表示电感的电压有效值等于电流有效值与感抗的乘积。 (3)电感电压超前电流产2相位，即：头.-男，=2 2.注意： (1)感抗表示限制电流的能力： (2)感抗和频率成正比。 3。电感的瞬时功率为： 第6项共8页

电路 A 教案 第八章 相量法 第 6 页 共 8 页 以上式子说明： （1）电阻的电压相量和电流相量满足复数形式的欧姆定律： 。 （2）电阻电压和电流的有效值也满足欧姆定律：UR = RI （3）电阻的电压和电流同相位，即：ψu = ψi 2. 电阻的瞬时功率为： 即瞬时功率以 2ω 交变，且始终大于零，表明电阻始终吸收功率。 二、电感元件 VCR 的相量形式 1. 电压电流关系： 设流过电感的电流为 则 对应的相量形式分别为： 以上式子说明： （1）电感的电压相量和电流相量满足关系： ， 其中 XL=ωL =2πfL ，称为感抗，单位为 Ω(欧姆)。 （2）电感电压和电流的有效值满足关系： ， 表示电感的电压有效值等于电流有效值与感抗的乘积。 （3）电感电压超前电流 相位，即： 2. 注意: （1）感抗表示限制电流的能力； （2）感抗和频率成正比。 3. 电感的瞬时功率为：

电路A教案 第八章相量法 p:=ui=U I cos(a+)sin(@t+)=U Isin 2(@t+) 电感在一个周期内吸收的平均功率为零。 三、电容元件VCR的相量形式 1.电压与电流的关系： 设电容的电压为： ut)=√2Ucos(t+Ψ，) 则对应的相量形式分别为：i=∠华.i.=CU∠华.+x2 以上式子说明： (1)电容的电压相量和电流相量满足关系： 0-xe 其中=1/C称为容抗，单位为Q(欧姆) (2)电容电压和电流的有效值满足关系：U。=®C 表示电容的电压有效值等于电流有效值与容抗的乘积。 (3)电容电压滞后电流π卫相位，即：头。-g,·-2 2.注意： (1)容抗表示限制电流的能力： (2)容抗和频率成反血→0，X。=0,说明电容有隔断直流的作用，而高频时 电容相当于短路。 3.电容的瞬时功率为 pe=。=2UI。cos(ot+平)sin(ot+平)=UIcsin2(ot+,) 即电容的瞬时功率以2。交变，有正有负，电感在一个周期内吸收的平均功率为 零。 四、基尔霍夫定律的相量形式 第7页共8页

电路 A 教案 第八章 相量法 第 7 页 共 8 页 电感在一个周期内吸收的平均功率为零。 三、电容元件 VCR 的相量形式 1. 电压与电流的关系： 设电容的电压为： 则对应的相量形式分别为： 以上式子说明： （1）电容的电压相量和电流相量满足关系： 其中 XC =1/ωC 称为容抗，单位为 Ω(欧姆)。 （2）电容电压和电流的有效值满足关系： ， 表示电容的电压有效值等于电流有效值与容抗的乘积。 （3）电容电压滞后电流 相位，即： 2. 注意: （1）容抗表示限制电流的能力； （2）容抗和频率成反 ，说明电容有隔断直流的作用，而高频时 电容相当于短路。 3. 电容的瞬时功率为 即电容的瞬时功率以 2ω 交变，有正有负，电感在一个周期内吸收的平均功率为 零。 四、基尔霍夫定律的相量形式

电路A教案 第八章相量法 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦稳态电路 中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示。 对电路中任一结点，根据KCL有∑0=0，得KC的相量形式为.=0 同理对电路中任一回路，根据L有工“)=0，对应的相量形式为：∑)=0 上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL:而任一回路 所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。 第8页共8页

电路 A 教案 第八章 相量法 第 8 页 共 8 页 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦稳态电路 中，KCL 和 KVL 可用相应的相量形式表示。 对电路中任一结点，根据 KCL 有 ，得 KCL 的相量形式为： 同理对电路中任一回路，根据 KVL 有 ，对应的相量形式为： 上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足 KCL；而任一回路 所有支路正弦电压用相量表示时仍满足 KVL