《运筹学》课程教学资源（参考资料）1 产品组合模型

1产品组合模型 1.1引言 从理论上说，产品组合问题是最容易理解的最优化问题。Astro/Cosmo问题就是早期的一 个例子。虽然在简单教科书中介绍的产品组合问题很少在实践中遇到，但是他们常常是一些 大问题的重要组成部分，如多期计划模型。 产品组合问题的特征是：产品的生产要消耗有限的资源。如果有m种资源和n个产品，那 么我们可以用一张m行、n列的表格来表示生产的技术水平。在第i行、第j列格子中的数字就 是每个单位产品消耗资源的数量。表格一行中的系数就是LP问题中一个约束的系数。在简 单的产品组合问题中，这些系数都是非负的。此外，我们还给出每种产品的单件利润和每种 可用资源的数量。最优化的目的就是要确定在不超过现有资源的限制条件下，每种产品生产 多少（组合就是此意），才可以获得最大的利润。 下面将要介绍的例子不只是用来说明如何求解产品组合问题的LP模型，而且还将说明(1) 如何处理非线性利润函数(2)对于大多数的最优化问题都有可替代的正确的处理方法。就是 说，人们对同样的一个问题可以采用两种不同的方法去处理，但结果都是正确的。 1.2典型案例 某一工厂能够制造出五种不同的产品。每种产品所需机器的时间见下表（分/单位）： Machine(机器) Product(产品) 1 2 3 A 12 5 B 7 9 10 c 8 4 7 D 10 0 3 E > 11 ) 每部机器每星期可提供128个工作小时

1 产品组合模型 1.1 引言 从理论上说，产品组合问题是最容易理解的最优化问题。Astro/Cosmo问题就是早期的一 个例子。虽然在简单教科书中介绍的产品组合问题很少在实践中遇到，但是他们常常是一些 大问题的重要组成部分，如多期计划模型。 产品组合问题的特征是：产品的生产要消耗有限的资源。如果有m种资源和n个产品,那 么我们可以用一张m行、n列的表格来表示生产的技术水平。在第i行、第j列格子中的数字就 是每个单位产品j消耗资源i的数量。表格一行中的系数就是LP问题中一个约束的系数。在简 单的产品组合问题中，这些系数都是非负的。此外，我们还给出每种产品的单件利润和每种 可用资源的数量。最优化的目的就是要确定在不超过现有资源的限制条件下，每种产品生产 多少(组合就是此意)，才可以获得最大的利润。 下面将要介绍的例子不只是用来说明如何求解产品组合问题的LP模型，而且还将说明(1) 如何处理非线性利润函数(2)对于大多数的最优化问题都有可替代的正确的处理方法。就是 说，人们对同样的一个问题可以采用两种不同的方法去处理，但结果都是正确的。 1.2 典型案例 某一工厂能够制造出五种不同的产品。每种产品所需机器的时间见下表(分/单位)： Machine（机器） Product（产品） 1 2 3 A 12 8 5 B 7 9 10 C 8 4 7 D 10 0 3 E 7 11 2 每部机器每星期可提供128个工作小时

产品A,B和C自由竞争，而且数量不限，并每个能分别卖$5，$4和$5。每一星期，D和E 的最初20个产品每个可卖$4，但是超过的部分每个只能卖$3。对于机器1和2，每小时的劳动 费用分别为$4：而对于机器3，每小时的劳动费用为$3。产品A和C的材料费都是$2：而产品 B,D和E的材料费都是$1。你目标就是使公司能够获得最大利润。 首要的困难是产品D和E的利润是非线性的。为了解决这一困难，你可以采取下面的策略。 定义两个附加的产品D2和E2,每单位产品卖$3。他们的上限也一定受制于原始的产品D和E 的限制。决策变量和他们贡献的利润如下： 每一单位产品 决策变量 定义 贡献的利润 A 每一星期产品A的数量 5-2=$3 B 每一星期产品B的数量 4-1=$3 C 每一星期产品C的数量 5-2=$3 D 每一星期产品D的数量(20个以内) $3 D2 每一星期产品D的数量（超过20个的部分）* $2 每一星期单位产品E的数量(20个以内)》 $3 E2 每一星期单位产品E的数量（超过20个的部分） $2 M 每一星期使用机器1的小时数 -$4 M 每一星期使用机器2的小时数 -$4 M 每一星期使用机器3的小时数 -$3 *产品D的总数是D+D2。 我们不必考虑不同产品在每一部机器上加工的先后顺序问题。如果产品的交货时间足够 长，这种假设是合理的。在这种情况下，我们的问题是： Maximize 收入减去成本 Subject to 产品在每部机器上使用的时间等于机器运行的时间， 产品D和E的产量最多不能超过20个， 每部机器最多可使用128个小时。 下面用LINGO更精确、更明确地描述如下： ！最大化收入减去成本： MAX=3*A+3*B+3*C+3*:D+2*D2+3*E+2*:E2 -4*M1-4*M2-3*M3:

产品A，B和C自由竞争，而且数量不限，并每个能分别卖$5，$4和$5。每一星期，D和E 的最初20个产品每个可卖$4，但是超过的部分每个只能卖$3。对于机器1和2，每小时的劳动 费用分别为$4；而对于机器3，每小时的劳动费用为$3。产品A和C的材料费都是$2；而产品 B，D和E的材料费都是$1。你目标就是使公司能够获得最大利润。 首要的困难是产品D和E的利润是非线性的。为了解决这一困难，你可以采取下面的策略。 定义两个附加的产品D2和E2，每单位产品卖$3。他们的上限也一定受制于原始的产品D和E 的限制。决策变量和他们贡献的利润如下: 每一单位产品 决策变量 定义 贡献的利润 A 每一星期产品A的数量 5 - 2 = $3 B 每一星期产品B的数量 4 - 1 = $3 C 每一星期产品C的数量 5 - 2 = $3 D 每一星期产品D的数量(20个以内) $3 D2 每一星期产品D的数量(超过20个的部分)* $2 E 每一星期单位产品E的数量(20个以内) $3 E2 每一星期单位产品E的数量(超过20个的部分) $2 M1 每一星期使用机器1的小时数 -$4 M2 每一星期使用机器2的小时数 -$4 M3 每一星期使用机器3的小时数 -$3 *产品D的总数是D+D2。 我们不必考虑不同产品在每一部机器上加工的先后顺序问题。如果产品的交货时间足够 长，这种假设是合理的。在这种情况下，我们的问题是: Maximize 收入减去成本 Subject to 产品在每部机器上使用的时间等于机器运行的时间, 产品D和E的产量最多不能超过20个, 每部机器最多可使用128个小时。 下面用LINGO更精确、更明确地描述如下: ! 最大化 收入减去成本; MAX = 3 * A + 3 * B + 3 * C + 3 * D + 2 * D2 + 3 * E + 2 * E2 - 4 * M1 - 4 * M2 - 3 * M3;

!产品在每部机器上使用的时间等于机器运行的时间： 12*A+7*B+8*C+10*D+10*D2+7*E+7*E2-60*M1=0: 8*A+9*B+4*C+11*E+11*E2-60*M2=0; 5*A+10*B+7*C+3*D+3*D2+2*E+2*E2-60*M3=0; D<=20: !按高价格出售的最大数量： E<=20: !机器可利用的时间： M1<=128: M2<=128: M3<=128; END 最初三个约束是用"分钟“为基本单位，机器时间的单位是小时。接下来的两个约束是限 制D和E按高利润出售的数量。最后三个约束是限制机器的最大用量，而且基本单位是“小时”。 对于第一个约束，首先应该按下式给出： 12A+7B+8C+10D+0D2+7E+72=M1 60 然后乘上60，再将M1移动到左边就得到上面的第一个约束。下面就是这个问题的解答： Global optimal solution found at step: 5 Obiective value: 1777.625 Variable Value Reduced Cost A 0.0000000 1.358334 B 0.0000000 0.1854168 c 942.5000 0.0000000 0 0.0000000 0.1291668 D2 0.0000000 1.129167 E 20.00000 0.0000000 E2 0.0000000 0.9187501 Ml 128.0000 0.0000000 M2 66.50000 0.0000000 M3 110.6250 0.0000000 从解答中我们易知：产品E生产20个（达到最大产量）。之後，我们尽量生产产品C,直

! 产品在每部机器上使用的时间等于机器运行的时间; 12*A + 7*B + 8*C + 10*D + 10*D2 + 7*E + 7*E2 - 60*M1 = 0; 8*A + 9*B + 4*C + 11*E + 11*E2 - 60*M2 = 0; 5*A + 10*B + 7*C + 3*D + 3*D2 + 2*E + 2*E2 - 60*M3=0; D <= 20; ! 按高价格出售的最大数量; E <= 20; !机器可利用的时间; M1 <= 128; M2 <= 128; M3 <= 128; END 最初三个约束是用"分钟"为基本单位，机器时间的单位是小时。接下来的两个约束是限 制D和E按高利润出售的数量。最后三个约束是限制机器的最大用量，而且基本单位是“小时”。 对于第一个约束，首先应该按下式给出： 1 60 12A 7B 8C l0D l0D2 7E 7E2 = M + + + + + + 然后乘上60，再将M1移动到左边就得到上面的第一个约束。下面就是这个问题的解答： Global optimal solution found at step: 5 Objective value: 1777.625 Variable Value Reduced Cost A 0.0000000 1.358334 B 0.0000000 0.1854168 C 942.5000 0.0000000 D 0.0000000 0.1291668 D2 0.0000000 1.129167 E 20.00000 0.0000000 E2 0.0000000 0.9187501 M1 128.0000 0.0000000 M2 66.50000 0.0000000 M3 110.6250 0.0000000 从解答中我们易知：产品E生产20个（达到最大产量）。之後，我们尽量生产产品C，直

到达到机器1的最大承受能力。 对于这个例题，我们还可以非常容易地找到其它等价的解法。这些解法不仅正确而且还 具有较少的变量和约束。例如，对于约束 8A+9B+4C+11E+11E2-60M2=0 可以重写为 M2=(8A+9B+4C+11E+11E2)/60 在模型中任何位置出现的M2都可以用上式右边的表达式替换。因为右边的表达式总是非 负的。非负的约束将会自动地被满足。因此，如果我们做这样的数学替换，M2和上述的约束 都能从模型中除去。类似地，我们还可以对M1和M3作同样的处理。这样，我们就得到下面 的模型： Model: MAX=1.41667*A+1.4333*B+1.85*C+2.18334*D+1.1833*D2+1.7*E+0.7*E2; !产品在每部机器上使用的时间等于机器运行的时间； 12*A+7*B+8*C+10*D+10*D2+7*E+7*E2<=7680: 8*A+9*B+4*C+11*E+11*E2 <=7680; 5*A+10*B+7*C+3*D+3*D2 +2*E+2*E2<=7680: !产品限制： D<=20; E<=20; End 这看起来更象是一个标准的产品组合模型。所有的约束都属于同一个类型。注意：这个 模型的解答和前面模型的解答完全一样。 Global optimal solution found at step: 3 Objective value: 1777.625 Variable Va lue Reduced Cost A 0.0000000 1.358333 B 0.0000000 0.1854170 942.5000 0.0000000 D 0.0000000 0.1291660 D2 0.0000000 1.129167 E 20.00000 0.0000000

到达到机器1的最大承受能力。 对于这个例题，我们还可以非常容易地找到其它等价的解法。这些解法不仅正确而且还 具有较少的变量和约束。例如，对于约束 8A+9B+4C+ 11E+ llE2- 60M2 = 0 可以重写为 M2 = (8A + 9B + 4C + 11E + 11E2)/60 在模型中任何位置出现的M2都可以用上式右边的表达式替换。因为右边的表达式总是非 负的。非负的约束将会自动地被满足。因此，如果我们做这样的数学替换，M2和上述的约束 都能从模型中除去。类似地，我们还可以对M1和M3作同样的处理。这样，我们就得到下面 的模型： Model: MAX=1.41667*A+1.4333*B+1.85*C+2.18334*D+1.1833*D2+1.7*E+0.7*E2; ! 产品在每部机器上使用的时间等于机器运行的时间; 12*A + 7*B + 8*C + 10*D + 10*D2 + 7*E + 7*E2 <= 7680; 8*A + 9*B + 4*C + 11*E + 11*E2 <= 7680; 5*A + 10*B + 7*C + 3*D + 3*D2 + 2*E + 2*E2 <= 7680; ! 产品限制; D <= 20; E < =20; End 这看起来更象是一个标准的产品组合模型。所有的约束都属于同一个类型。注意：这个 模型的解答和前面模型的解答完全一样。 Global optimal solution found at step: 3 Objective value: 1777.625 Variable Value Reduced Cost A 0.0000000 1.358333 B 0.0000000 0.1854170 C 942.5000 0.0000000 D 0.0000000 0.1291660 D2 0.0000000 1.129167 E 20.00000 0.0000000

E2 0.0000000 0.9187500 对于不太善于数学的建模者来说，他可能会给出第一种模型。然而，对于喜欢数学的建 模者就可能给出第二个模型。 1.3案例及参考解答 1-1.假设某个公司生产Widgets和Frisbees两种产品。每一种产品都是两种原材料聚酯和 聚乙烯制成的。下面的表格就给出了产品消耗原材料的数据： Widgets Frisbees 原材料 3 聚酯 6 2 聚乙烯 由于进口的限制，这个月，公司只能分别得到12单位聚酯和10单位聚乙烯。公司对下个 月的生产计划非常感兴趣。为此，知道每一种产品的获利情况就变得非常重要。单位产品 Widgets7和Frisbees可分别获利S3和$4。下个月，Widgets和Frisbees应该生产多少？ 参考解答： Model: !W和F分别表示Widgets和Frisbees两种产品的产量： 3*W+5*F<12: 6*N+2*F<10: max=3*W+4*F; End 解答： Objective value: 10.25000 Variable Value Reduced Cost W 1.083333 0.0000000 1.750000 0.0000000 总利润为10.25美元。 l-2.Otto Maddick机械制造公司生产两种产品：消声器轴承(muffler beating)和转力矩

E2 0.0000000 0.9187500 对于不太善于数学的建模者来说，他可能会给出第一种模型。然而，对于喜欢数学的建 模者就可能给出第二个模型。 1.3 案例及参考解答 1-1. 假设某个公司生产Widgets和Frisbees两种产品。每一种产品都是两种原材料聚酯和 聚乙烯制成的。下面的表格就给出了产品消耗原材料的数据： Widgets Frisbees 原材料 3 5 聚酯 6 2 聚乙烯 由于进口的限制，这个月，公司只能分别得到12单位聚酯和10单位聚乙烯。公司对下个 月的生产计划非常感兴趣。为此，知道每一种产品的获利情况就变得非常重要。单位产品 Widgets和Frisbees可分别获利$3和$4。下个月，Widgets和Frisbees应该生产多少? 参考解答： Model: !W和F分别表示Widgets和Frisbees两种产品的产量; 3*W+5*F<12; 6*W+2*F<10; max=3*W+4*F; End 解答： Objective value: 10.25000 Variable Value Reduced Cost W 1.083333 0.0000000 F 1.750000 0.0000000 总利润为10.25美元。 1-2. Otto Maddick机械制造公司生产两种产品：消声器轴承（muffler beating）和转力矩

放大器(torque amplifier)。一个消声器轴承需要1/8小时的装配时间，0.25小时的冲压时间和 9平方英寸的钢板：一个转力矩放大器需要1/3小时的装配和冲压时间，且需要6平方英寸的钢 板。现在每周装配车间的可利用的劳动时间是400小时，冲压车间可利用的时间是350小时。 每平方英寸的钢板成本是15美分。单位消声器轴承的销售价格是$8，单位转力矩放大器的价 格是$7。两个车间多余的劳动力不能解雇或用于其它部门。 a)建立每周利润最大化的LP模型。 b)假设考虑下面两个重要的条件： 1装配车间可利用的劳动时间最多可增加100小时，每小时的成本是$5。 ⅱ当每周的钢板使用量达到5000平方英尺以上的时候，钢板供应商答应将每平方英尺 钢板的价格将为12美分。 上面两个条件中哪一个更容易用LP表示，如何表示？如果有一个或两个都不容易用LP 表示，请你指出如何求解这个模型。 参考解答： a Model: !M和1表示轴承和放大器两种产品的产量， 1/8*M+1/3*T5000:”,同时目标函数中的0.15换为0.12。 1-3.回顾本章开始介绍的5个产品，3个机器生产混合问题的解答： )每一台机器增加一个小时运营时间的边际价值是多少？ b)产品A现在的销售价格是$5。产品A的价格将要达到多少才有可能投入生产？ c)产品E的价格是$4的时候，如果能销售出去则一定赢利。如果产品E的价格是$3，即 便能销售出去也不会赢利。产品E的保本销售价格是多少？

放大器（torque amplifier）。一个消声器轴承需要1/8小时的装配时间，0.25小时的冲压时间和 9平方英寸的钢板；一个转力矩放大器需要1/3小时的装配和冲压时间，且需要6平方英寸的钢 板。现在每周装配车间的可利用的劳动时间是400小时，冲压车间可利用的时间是350小时。 每平方英寸的钢板成本是15美分。单位消声器轴承的销售价格是$8，单位转力矩放大器的价 格是$7。两个车间多余的劳动力不能解雇或用于其它部门。 a) 建立每周利润最大化的LP模型。. b) 假设考虑下面两个重要的条件： i.装配车间可利用的劳动时间最多可增加100小时，每小时的成本是$5。 ii.当每周的钢板使用量达到5000平方英尺以上的时候，钢板供应商答应将每平方英尺 钢板的价格将为12美分。 上面两个条件中哪一个更容易用LP表示，如何表示？如果有一个或两个都不容易用LP 表示，请你指出如何求解这个模型。 参考解答： a) Model: !M和T表示轴承和放大器两种产品的产量; 1/8*M+1/3*T5000;”，同时目标函数中的0.15换为0.12。 1-3. 回顾本章开始介绍的5个产品，3个机器生产混合问题的解答： a) 每一台机器增加一个小时运营时间的边际价值是多少? b) 产品A现在的销售价格是$5。产品A的价格将要达到多少才有可能投入生产? c) 产品E的价格是$4的时候，如果能销售出去则一定赢利。如果产品E的价格是$3，即 便能销售出去也不会赢利。产品E的保本销售价格是多少？

)可以通过租用自动控制装置充分利用三台机器上的所有时间提高生产能力，无需增 加其他成本。每台机器每小时你能接受的最大租金是多少？ 参考解答： 本章开始介绍的5个产品，3个机器生产混合问题的解答如下： )第1台机器增加一个小时运营时间的边际价值是13.875美元。第2和第3台运营时间还 有剩余，增加运营时间无价值。 b)产品A的价格将要达到6.358美元才有可能投入生产。 ©)产品E的保本销售价格是3美元。 d利用前的利润是1777.625美元（用时325.125小时）。利用后，三台机器上的约束改为： M1+M2+M3<=384;利润为2261.719美元（用时364，增加58.875小时）。增加一小时 的利润为8.2美元，这就是最低租金。 1-4.Aviston电子有限公司生产玩具和小型设备的发动机。销售部门预计下一个季度可 以售出6,100台直流发电机。这是历史上的最高销售量。面对这样的最高需求，我们需要测试 Aviston公司的生产能力。一台直流发电机是通过它的三个部件轴、底盘和机架组装而成。显 然，由于时间上的限制，有一些部件必须从外面的供应商那里购买。部件内部生产和外部购 买的成本数据如下： 部件 外购成本 自产成本 轴(Shaft) 1.21 0.81 底盘(Base) 2.50 2.30 机架(Cage) 1.95 1.45 Aviston生产厂由三个车间构成。如果是内部生产，每个部件在每个车间的生产时间见下 面的表格。三个车间可利用的时间列在最后一行。 部件 切割车间 修正车间 装配车间 轴 0.04 0.06 0.04 底盘 0.08 0.02 0.05 机架 0.07 0.09 0.06 可利用时间 820 820 820 a)决策变量是什么？ b)建立相应的LP模型

d) 可以通过租用自动控制装置充分利用三台机器上的所有时间提高生产能力，无需增 加其他成本。每台机器每小时你能接受的最大租金是多少？ 参考解答： 本章开始介绍的5个产品，3个机器生产混合问题的解答如下： a) 第1台机器增加一个小时运营时间的边际价值是13.875美元。第2和第3台运营时间还 有剩余，增加运营时间无价值。 b) 产品A的价格将要达到6.358美元才有可能投入生产。 c) 产品E的保本销售价格是3美元。 d) 利用前的利润是1777.625美元（用时325.125小时）。利用后，三台机器上的约束改为： M1+M2+M3 <= 384;利润为2261.719美元（用时364，增加58.875小时）。增加一小时 的利润为8.2美元，这就是最低租金。 1-4. Aviston电子有限公司生产玩具和小型设备的发动机。销售部门预计下一个季度可 以售出6,100台直流发电机。这是历史上的最高销售量。面对这样的最高需求，我们需要测试 Aviston公司的生产能力。一台直流发电机是通过它的三个部件轴、底盘和机架组装而成。显 然，由于时间上的限制，有一些部件必须从外面的供应商那里购买。部件内部生产和外部购 买的成本数据如下： 部件 外购成本 自产成本 轴（Shaft） 1.21 0.81 底盘（Base） 2.50 2.30 机架（Cage） 1.95 1.45 Aviston生产厂由三个车间构成。如果是内部生产，每个部件在每个车间的生产时间见下 面的表格。三个车间可利用的时间列在最后一行。 部件 切割车间 修正车间 装配车间 轴 0.04 0.06 0.04 底盘 0.08 0.02 0.05 机架 0.07 0.09 0.06 可利用时间 820 820 820 a) 决策变量是什么? b) 建立相应的LP模型

c)外购部件的数量是多少？ 参考解答： a)决策变量是三个部件的数量。 b) Model: sets: a/1.3/:x1,c1,x2,c2;!x1表示三个部件内部生产数量，x2表示外购的数量，c1,c1 表示相应的成本： b/1.3/:n;!n表示三个车间可利用时间： ab(a,b):w;!w表示部件时间消耗： endsets data: c2=1.21 2.50 1.95: c1=0.812.30 1.45 W= 0.04 0.06 0.04 0.08 0.02 0.05 0.07 0.09 0.06 n= 820 820 820: enddata ×1(1)+x2(1)>6100;1产量约束： ×1(1)+×2(1)=x1(2)+×2(2):!产品约束： 1(3)+x2(3)=x1(2)+x2(2): efor(b(i):esum(a(j):x1(j)*w(i,j))<n(i)):!车间能力约束； min=esum(a:x1*c1+x2*c2);!目标函数： End 共生产6100台直流发电机。 c)外购底盘的数量是5800。 1-5.Marky Dee在德克萨斯州经营三个大农场。三个农场的耕地面积和灌溉用水分别如

c) 外购部件的数量是多少? 参考解答： a) 决策变量是三个部件的数量。 b) Model: sets: a/1.3/:x1,c1,x2,c2;!x1表示三个部件内部生产数量，x2表示外购的数量,c1，c1 表示相应的成本; b/1.3/:n;!n表示三个车间可利用时间; ab(a,b):w;!w表示部件时间消耗; endsets data: c2=1.21 2.50 1.95; c1=0.81 2.30 1.45; w= 0.04 0.06 0.04 0.08 0.02 0.05 0.07 0.09 0.06; n= 820 820 820; enddata x1(1)+x2(1)>6100;!产量约束; x1(1)+x2(1)=x1(2)+x2(2);!产品约束; x1(3)+x2(3)=x1(2)+x2(2); @for(b(i):@sum(a(j):x1(j)*w(i,j))<n(i));!车间能力约束; min=@sum(a:x1*c1+x2*c2);!目标函数; End 共生产6100台直流发电机。 c) 外购底盘的数量是5800。 1-5. Marky Dee在德克萨斯州经营三个大农场。三个农场的耕地面积和灌溉用水分别如

下： 农场 耕地面积 灌溉用水（英亩英尺） 400 1500 2 600 2000 3 300 900 可以耕种三种农作物。然而，每种农作物的最大种植量取决于相应收割设备的数量。三 种农作物分别描述如下：The three crops are described below: 总收割能力 需要水量 期望利润 作物 按英亩数) 英亩英尺英亩) (美元/每亩) 高粱(Milo) 700 6 400 棉花(Cotton) 800 4 300 小麦(Wheat) 300 2 100 每一个农场可以选择任何一种农作物进行耕作。 a)决策变量是什么？ b)建立LP模型。 参考解答： a)决策变量是农场耕作作物的产量。 b) Model: sets: a/1.3/:m,shui;!m表示三个农场的面积，shui表示三个农场的最大供水量； b/1.3/:g,xs,1r;!g表示最大收割量，×s表示需水量，1x表示每亩作物的利润： ab(a,b):x;！x表示三个农场三种作物的种植量： endsets data: m=400600300: shui=1500 2000 900: g=700800300: xs=642; 1x=400 300100: enddata

下： 农场 耕地面积 灌溉用水(英亩英尺) 1 400 1500 2 600 2000 3 300 900 可以耕种三种农作物。然而，每种农作物的最大种植量取决于相应收割设备的数量。三 种农作物分别描述如下：The three crops are described below: 总收割能力 需要水量 期望利润 作物 (按英亩数) (英亩英尺/英亩) (美元/每亩) 高粱（Milo） 700 6 400 棉花（Cotton） 800 4 300 小麦（Wheat） 300 2 100 每一个农场可以选择任何一种农作物进行耕作。 a) 决策变量是什么? b) 建立LP模型。 参考解答： a) 决策变量是农场耕作作物的产量。 b) Model: sets: a/1.3/:m,shui;!m表示三个农场的面积，shui表示三个农场的最大供水量; b/1.3/:g,xs,lr;!g表示最大收割量，xs表示需水量，lr表示每亩作物的利润; ab(a,b):x;!x表示三个农场三种作物的种植量; endsets data: m=400 600 300; shui=1500 2000 900; g=700 800 300; xs=6 4 2; lr=400 300 100; enddata

@for(a(i):@sum(b(j):x(i,j)<m(i);!种植面积约束： @for(a(i):@sum(b(j):s(j)*x(i,j))<shui(i));!最大供水约束： @for(b(i):esum(a(j):x(j,i)<g(i);!收割能力约束； max=esum(a(i):esum(b(j):1r(j)*x(i,j)));!目标函数； End 解答： Variable Value Reduced Cost x(1,棉花) 375.0000 0.0000000 X(2,高粱) 200.0000 0.0000000 X(2,高粱) 200.0000 0.0000000 X(3,高粱) 225.0000 0.0000000 总利润为：320000美元。水资源紧缺。 1-6.最近一份报纸周末版提供了一种优惠券。利用这个优惠券可以在购买Ocean Spray 果汁的时候（无论什么品种）得到1美元的优惠。报纸周末版的成本超过1美元。 考察当地的商店，我们发现可以购买到两种Ocean Spray果汁： 规格（盎司） 价格 每盎司的价格 优惠后每盎司的价格 32 2.09 0653125 0340625 48 2.89 .0602083 039375 如果有什么问题的话就是选择购买那种规格的果汁？当我们在做出这样一种购买选择 的时候，我们的总目标是什么？ 参考解答： 应该选择规格为32盎司的果汁，应为此时每盎司果汁优惠前后差距最大。这也是我们的 目标。 Model: @bin(y):!y=1表示选择规格32果汁，y=0表示选择规格48果汁： max=y*(2.09-(2.09-1))/32+(1-y)*(2.89-(2.89-1))/48; End

@for(a(i):@sum(b(j):x(i,j))<m(i));!种植面积约束; @for(a(i):@sum(b(j):xs(j)*x(i,j))<shui(i));!最大供水约束; @for(b(i):@sum(a(j):x(j,i))<g(i));!收割能力约束; max=@sum(a(i):@sum(b(j):lr(j)*x(i,j)));!目标函数; End 解答： Variable Value Reduced Cost X( 1, 棉花) 375.0000 0.0000000 X( 2, 高粱) 200.0000 0.0000000 X( 2, 高粱) 200.0000 0.0000000 X( 3, 高粱) 225.0000 0.0000000 总利润为：320000美元。水资源紧缺。 1-6. 最近一份报纸周末版提供了一种优惠券。利用这个优惠券可以在购买Ocean Spray 果汁的时候（无论什么品种）得到1美元的优惠。报纸周末版的成本超过1美元。 考察当地的商店，我们发现可以购买到两种Ocean Spray果汁： 规格（盎司） 价格 每盎司的价格 优惠后每盎司的价格 32 2.09 .0653125 .0340625 48 2.89 .0602083 .039375 如果有什么问题的话就是选择购买那种规格的果汁？当我们在做出这样一种购买选择 的时候，我们的总目标是什么? 参考解答： 应该选择规格为32盎司的果汁，应为此时每盎司果汁优惠前后差距最大。这也是我们的 目标。 Model: @bin(y);!y=1表示选择规格32果汁，y=0表示选择规格48果汁; max=y*(2.09-(2.09-1))/32+(1-y)*(2.89-(2.89-1))/48; End