《运筹学》课程教学资源（参考资料）5 物料调和模型

5物料调和模型 5.1引言 在物料调和问题中，通常有： 1)两种或多种原材料： 2)一个或多个质量指标（对于每一种原材料）； 3)一种或多种产品（通过调和原材料生产出），并使得产品的质量达到一定的要 求。 计算产品质量指标的一种理想方法就是对原材料的质量指标进行加权平均而获得。 下面是一些实例： 产品 质量 原材料 饲料 水分，浓度，进口原料含量，有害成分 各类原始饲料 食物 蛋白质，碳水化合物，脂肪含量 玉米，燕麦，大豆，肉类 汽油 辛烷值，挥发性，蒸汽压 提炼的各类原油产品 粗粉 碳，锰，铬的含量 粗粉矿石，金属碎片 出口的粮食水分，进口原料和有害成分的百分比各类粮食供应商 销售的煤炭硫磺，热量，灰分，水分含量 伊利诺斯州，怀俄明州煤炭 酒 年限，种类，地域 各地的纯生酒 银行资产 平衡表 各类贷款比例贷款期限投资利率 可能的各类贷款和投资 在下面的三种工业中经常使用调和模型： 1)饲料和食品工业（例如，调和牛饲料，热狗等等）： 2)金属加工业（例如，调和特种钢和特种合金，尤其是在再生废料的使用中）： 3)石油工业（例如，调和指定辛烷值和蒸汽压的汽油）。 某类原材料的市场价格在一个月或一个星期内也许会发生较大的变化。例如，明智的 采购员会从最便宜的供应商那里采购玉米。更为聪明的采购员会利用这样的事实：当玉米 的价格相对于大豆有所下降时，用同样多的钱，多采购玉米，少采购大豆就会得到更好的 经济效果。 美国科学家菲尔德在1978年为饲养场的家畜构造了一个低成本的饲料调和模型。饲 养场的管理员每月要运行1000次模型。艾伦在1998年对美国韦尔奇有限公司的葡萄汁调 和问题进行了研究。调和葡萄汁涉及的质量指标是甜度、酸度和色泽。这样的调和问题每 一个季度至少要做一次，要决定从韦尔奇的供应商那里购进什么种类的葡萄及其数量。长 期的供货合同迫使韦尔奇收购每一个供应商的全部产品。 近一段时间以来，在钢铁业的小工厂中有一些成功的例子。这些小工厂多数都是使用 回收的废钢铁进行再加工。相应的调和问题就是：使用何种废料，数量是多少，才能达到

1 5 物料调和模型 5.1 引言 在物料调和问题中，通常有: 1） 两种或多种原材料; 2） 一个或多个质量指标（对于每一种原材料）; 3） 一种或多种产品（通过调和原材料生产出），并使得产品的质量达到一定的要 求。 计算产品质量指标的一种理想方法就是对原材料的质量指标进行加权平均而获得。 下面是一些实例: 产品 质量 原材料 饲料 水分, 浓度, 进口原料含量，有害成分 各类原始饲料 食物 蛋白质, 碳水化合物, 脂肪含量 玉米, 燕麦, 大豆, 肉类 汽油 辛烷值, 挥发性, 蒸汽压 提炼的各类原油产品 粗粉 碳, 锰, 铬的含量 粗粉矿石, 金属碎片 出口的粮食 水分, 进口原料和有害成分的百分比 各类粮食供应商 销售的煤炭 硫磺, 热量, 灰分, 水分含量 伊利诺斯州, 怀俄明州煤炭 酒 年限, 种类, 地域 各地的纯生酒 银行资产 平衡表 各类贷款比例 贷款期限 投资利率 可能的各类贷款和投资 在下面的三种工业中经常使用调和模型： 1) 饲料和食品工业 (例如，调和牛饲料，热狗等等); 2） 金属加工业 (例如，调和特种钢和特种合金，尤其是在再生废料的使用中); 3） 石油工业 (例如，调和指定辛烷值和蒸汽压的汽油)。 某类原材料的市场价格在一个月或一个星期内也许会发生较大的变化。例如，明智的 采购员会从最便宜的供应商那里采购玉米。更为聪明的采购员会利用这样的事实：当玉米 的价格相对于大豆有所下降时，用同样多的钱，多采购玉米，少采购大豆就会得到更好的 经济效果。 美国科学家菲尔德在 1978 年为饲养场的家畜构造了一个低成本的饲料调和模型。饲 养场的管理员每月要运行 1000 次模型。艾伦在 1998 年对美国韦尔奇有限公司的葡萄汁调 和问题进行了研究。调和葡萄汁涉及的质量指标是甜度、酸度和色泽。这样的调和问题每 一个季度至少要做一次，要决定从韦尔奇的供应商那里购进什么种类的葡萄及其数量。长 期的供货合同迫使韦尔奇收购每一个供应商的全部产品。 近一段时间以来，在钢铁业的小工厂中有一些成功的例子。这些小工厂多数都是使用 回收的废钢铁进行再加工。相应的调和问题就是：使用何种废料，数量是多少，才能达到

2 产品（例如，承重棒等等）的质量要求？ 第一个公开发表的LP模型就是一个调和或营养问题，是由George Stigler在1945年 完成。这个问题需要从80中食品中构造一个“处方”，使得调和的产品满足12种营养的 需求。例如，蛋白质要超过5%，纤维素要超过40%等等。当Stigler给出这个模型的时候， 还没有出现求解LP的单纯形算法。因此，人们还没有意识到这个“营养问题”恰好就是 这类调和问题的一个特例。Stigler意识到了它的一般性，他说“到目前为止，还没有任何 直接的方法可以解决线性约束下线性函数的最小值问题”。对于这个特殊的问题，他借助 于参数变换给出的解答与后来用单纯形法计算的最低成本解答只有几分币的差距。无论是 最低成本解答还是Stigler的解答，从烹饪的角度来看都是不可行的。试想一下，人们能够 将由卷心菜、面粉和干青豆一起吞下吗？我们不清楚，是有人需要这样的食品，还是有人 可以忍受这样的食品？从这些解答中，我们可以看出约束的重要性。有些约束虽然是显而 易见的，但也常常会被遗忘。在这个例子中，被遗忘的约束是可口性约束。 5.2调和问题的结构和实例 5.2.1调和问题的结构 让我们来考察一个简单的食品调和问题。我们要生产一种牲畜饲料，其蛋白质含量至少 超过15%。使用的原材料是玉米（蛋白质含量6%）和大豆（蛋白质含量35%）。 关于蛋白质的约束如下： 调和物中蛋白质（蒲式尔） ≥0.15 调和物（蒲式尔） 如果C表示调和物中玉米的数量（蒲式尔），S表示调和物中大豆的数量，那么，我 们有 0.06C+0.35S ≥0.15 C+S 因为这个约束不是线性的，初看起来，似乎有点麻烦。当然，如果将不等式两边同乘 (C+S),就可以得到下面等价的约束： 0.06C+0.35S≥0.15(C+S) 再将它标准化，得到 -0.09C+0.20S≥0 对于其它指标的约束（例如，脂肪，碳水化合物、色泽、味道和质地等）都可以按照 类似的方法处理。 调和问题的一个最大的特点是当直接给出约束的时候，关键约束是以线性比率的形式 出现。当然，可以通过同乘分母将它们转化成线性约束。在一些金融模型中也会出现比率 约束。金融机构关于投放贷款比例的约束或投资周期的约束就是比率约束。 如果在一个大的问题中，当批量也是决策变量，而调和因素只是占很小的比率时，相

2 产品（例如，承重棒等等）的质量要求？ 第一个公开发表的 LP 模型就是一个调和或营养问题，是由 George Stigler 在 1945 年 完成。这个问题需要从 80 中食品中构造一个“处方”，使得调和的产品满足 12 种营养的 需求。例如，蛋白质要超过 5%，纤维素要超过 40%等等。当 Stigler 给出这个模型的时候， 还没有出现求解 LP 的单纯形算法。因此，人们还没有意识到这个“营养问题”恰好就是 这类调和问题的一个特例。Stigler 意识到了它的一般性，他说“到目前为止，还没有任何 直接的方法可以解决线性约束下线性函数的最小值问题”。对于这个特殊的问题，他借助 于参数变换给出的解答与后来用单纯形法计算的最低成本解答只有几分币的差距。无论是 最低成本解答还是 Stigler 的解答，从烹饪的角度来看都是不可行的。试想一下，人们能够 将由卷心菜、面粉和干青豆一起吞下吗？我们不清楚，是有人需要这样的食品，还是有人 可以忍受这样的食品？从这些解答中，我们可以看出约束的重要性。有些约束虽然是显而 易见的，但也常常会被遗忘。在这个例子中，被遗忘的约束是可口性约束。 5.2 调和问题的结构和实例 5.2.1 调和问题的结构 让我们来考察一个简单的食品调和问题。我们要生产一种牲畜饲料,其蛋白质含量至少 超过 15%。使用的原材料是玉米（蛋白质含量 6%）和大豆（蛋白质含量 35%）。 关于蛋白质的约束如下：  0.15 调和物（蒲式尔） 调和物中蛋白质（蒲式尔） 如果 C 表示调和物中玉米的数量（ 蒲式尔 ），S 表示调和物中大豆的数量，那么，我 们有 0.15 C S 0.06 C 0.35S  + + 因为这个约束不是线性的，初看起来，似乎有点麻烦。当然，如果将不等式两边同乘 (C+S)，就可以得到下面等价的约束： 0.06 C + 0.35 S ≥ 0.15 (C+S) 再将它标准化，得到 - 0.09 C + 0.20 S ≥ 0 对于其它指标的约束（例如，脂肪，碳水化合物、色泽、味道和质地等）都可以按照 类似的方法处理。 调和问题的一个最大的特点是当直接给出约束的时候，关键约束是以线性比率的形式 出现。当然，可以通过同乘分母将它们转化成线性约束。在一些金融模型中也会出现比率 约束。金融机构关于投放贷款比例的约束或投资周期的约束就是比率约束。 如果在一个大的问题中，当批量也是决策变量，而调和因素只是占很小的比率时，相

3 应的模型就要复杂一点。 5.2.2实例：匹斯堡钢铁公司的调和问题 匹斯堡钢铁公司(PS)计划生产一种新型的高碳钢，其质量要求如下： 至少 至多 碳含量 3.00% 3.50% 铬含量 0.30% 0.45% 锰含量 0.35% 1.65% 硅含量 2.70% 3.00% PS可以利用以下的原材料： 成本（磅）碳（%)铬（%) 锰（%)硅(%) 可用量 铸铁1 0.0300 4.0 0.0 0.9 2.25 无限制 铸铁2 0.0645 0.0 10.0 4.5 15.00 无限制 铁硅1 0.0650 0.0 0.0 0.0 45.00 无限制 铁硅2 0.0610 0.0 0.0 0.0 42.00 无限制 合金1 0.1000 0.0 0.0 60.0 18.00 无限制 合金2 0.1300 0.0 20.0 9.0 30.00 无限制 合金3 0.1190 0.0 8.0 33.0 25.00 无限制 碳化物（硅） 0.0800 15.0 0.0 0.0 30.00 20磅 钢锭1 0.0210 0.4 0.0 0.9 0.00 200磅 钢锭2 0.0200 0.1 0.0 0.3 0.00 200磅 钢锭3 0.0195 0.1 0.0 0.3 0.00 200磅 根据合同，需要生产一吨(2000-磅)高碳钢。现在的问题是：选择哪些原材料进行调 和，每一种原材料的数量应该是多少，才能达到即满足质量的要求，又能使得总成本最少 的目的？有经验的炼钢工人估计：最低成本的治炼方式使用的原材料不会超过9种。最好 的调和方式是什么？很多原材料的价格和4种质量指标可以进行适当的调整。那些价格和 质量指标值得去调整。 注意，调和物中某种成分的含量可以用原材料相应成分的含量加权平均简单算出。例 如，如果合金1和合金2锰的含量分别是40%和60%，那么，调和物中，锰的含量就是： (0.40)×60+(0.60)×9=29.4。 5.2.3匹斯堡钢铁公司调和问题的模型和解答 PS调和问题的LP模型有11个变量和13个约束。11个变量是来自11种原材料。质 量指标中4种元素的上限构成了4个约束，4个下限也构成了4个约束。其它4个约束是 原材料用量上限的约束。最后一个是产品必须是2000磅的约束。 如果我们假设P1表示铸铁1的重量，对其它的原材料也做类似的处理。那么，就得 到成本最小化的模型： MODEL:

3 应的模型就要复杂一点。 5.2.2 实例: 匹斯堡钢铁公司的调和问题 匹斯堡钢铁公司(PS)计划生产一种新型的高碳钢，其质量要求如下： 至少 至多 碳含量 3.00% 3.50% 铬含量 0.30% 0.45% 锰含量 0.35% 1.65% 硅含量 2.70% 3.00% PS 可以利用以下的原材料： 成本（磅） 碳（%） 铬（%） 锰（%） 硅（%） 可用量 铸铁 1 0.0300 4.0 0.0 0.9 2.25 无限制 铸铁 2 0.0645 0.0 10.0 4.5 15.00 无限制 铁硅 1 0.0650 0.0 0.0 0.0 45.00 无限制 铁硅 2 0.0610 0.0 0.0 0.0 42.00 无限制 合金 1 0.1000 0.0 0.0 60.0 18.00 无限制 合金 2 0.1300 0.0 20.0 9.0 30.00 无限制 合金 3 0.1190 0.0 8.0 33.0 25.00 无限制 碳化物（硅） 0.0800 15.0 0.0 0.0 30.00 20 磅 钢锭 1 0.0210 0.4 0.0 0.9 0.00 200 磅 钢锭 2 0.0200 0.1 0.0 0.3 0.00 200 磅 钢锭 3 0.0195 0.1 0.0 0.3 0.00 200 磅 根据合同，需要生产一吨（2000-磅）高碳钢。现在的问题是：选择哪些原材料进行调 和，每一种原材料的数量应该是多少，才能达到即满足质量的要求，又能使得总成本最少 的目的？有经验的炼钢工人估计：最低成本的冶炼方式使用的原材料不会超过 9 种。最好 的调和方式是什么？很多原材料的价格和 4 种质量指标可以进行适当的调整。那些价格和 质量指标值得去调整。 注意，调和物中某种成分的含量可以用原材料相应成分的含量加权平均简单算出。例 如，如果合金 1 和合金 2 锰的含量分别是 40%和 60%，那么，调和物中，锰的含量就是： (0.40) × 60 + (0.60) × 9 = 29.4。 5.2.3 匹斯堡钢铁公司调和问题的模型和解答 PS 调和问题的 LP 模型有 11 个变量和 13 个约束。11 个变量是来自 11 种原材料。质 量指标中 4 种元素的上限构成了 4 个约束，4 个下限也构成了 4 个约束。其它 4 个约束是 原材料用量上限的约束。最后一个是产品必须是 2000 磅的约束。 如果我们假设 P1 表示铸铁 1 的重量，对其它的原材料也做类似的处理。那么，就得 到成本最小化的模型： MODEL:

MIN=0.03*P1+0.0645*P2+0.065*F1+0.061*F2+0.1*A1+0.13*A2+0.119*A3+0.08 *CB+0.021*S1+0.02*S2+0.0195*s3; !可以利用的原材料： CB=60: 0.04*P1+0.15*CB+0.004*S1+0.001*S2+0.001*S3=6;10.003*2000=6: 0.1*P2+0.2*A2+0.08*A3=27; 0.009*P1+0.045*P2+0.6*A1+0.09*A2+0.33*A3+0.009*S1 +0.003*S2+0.003*S3=54: 0.0225*P1+0.15*P2+0.45*F1+0.42*F2+0.18*A1+0.3*A2 +0.25*A3+0.3*CB<=60: Finish good requirements; !成品需求： P1+P2+F1+F2+A1+A2+A3+CB+S1+S2+S3=2000: END 简言之，这个模型就是 Minimize原材料成本 subject to (a)可利用的原材料 (b)质量需求 (c)成品需求 这种将约束归类的方法在实践中非常有用。 对于这个例子，当我们写质量约束的时候，可以利用产品重量为2000的性质将这些 约束进行适当的转化。例如，2000的3%就是60,2000的3.5%就是70，等等。 求解后，就可以得到下面的解答： Global optimal solution found at step: 10 Objective value: 59.55629 Variable Value Reduced Cost P1 1474.264 0.0000000 P2 60.00000 0.0000000

4 MIN=0.03*P1+0.0645*P2+0.065*F1+0.061*F2+0.1*A1+0.13*A2+0.119*A3+0.08 *CB+0.021*S1+0.02*S2+0.0195*S3; ! 可以利用的原材料; CB = 60; 0.04 * P1 + 0.15 * CB + 0.004 * S1 + 0.001 * S2 + 0.001 * S3 = 6;!0.003*2000=6; 0.1 * P2 + 0.2 * A2 + 0.08 * A3 = 27; 0.009 * P1 + 0.045 * P2 + 0.6 * A1 + 0.09 * A2 + 0.33 * A3 + 0.009 * S1 + 0.003 * S2 + 0.003 * S3 = 54; 0.0225 * P1 + 0.15 * P2 + 0.45 * F1 + 0.42 * F2 + 0.18 * A1 + 0.3 * A2 + 0.25 * A3 + 0.3 * CB <= 60; ! Finish good requirements; !成品需求; P1 + P2 + F1 + F2 + A1 + A2 + A3 + CB + S1 + S2 + S3 = 2000; END 简言之，这个模型就是: Minimize 原材料成本 subject to (a) 可利用的原材料 (b) 质量需求 (c) 成品需求 这种将约束归类的方法在实践中非常有用。 对于这个例子，当我们写质量约束的时候，可以利用产品重量为 2000 的性质将这些 约束进行适当的转化。例如，2000 的 3% 就是 60，2000 的 3.5%就是 70，等等。 求解后，就可以得到下面的解答： Global optimal solution found at step: 10 Objective value: 59.55629 Variable Value Reduced Cost P1 1474.264 0.0000000 P2 60.00000 0.0000000

5 F1 0.0000000 0.1035937E-02 F2 22.06205 0.0000000 A1 14.23886 0.0000000 A2 0.0000000 0.2050311E-01 A3 0.0000000 0.1992597E-01 CB 0.0000000 0.3356920E-02 s1 200.0000 0.0000000 S2 29.43496 0.0000000 s3 200.0000 0.0000000 注意，调和后的产品仅仅利用了7种原材料。 在实践中，匹斯堡公司基本上每月要运行两次。第一次运行结束后，采购商根据递减 成本和影子价格来指导购买原材料。第二次运行结束后，制造商就会从生产的产品中获得 收益。 5.3案例及参考解答 5-1.这个星期，Exxoff公司必须对合成汽油产品作出决定。他们要合成两种汽油产品， 产品的特性列表如下： 汽油产品 蒸汽压 辛烷数 售价S桶 Lo-lead =80 $9.80 Premium =100 $12.00 构成两种汽油的原料及它们的特性列表如下： 原料 蒸汽压 辛烷数 本周可供量（桶） Cat-Cracked Gas 8 83 2700 Isopentane 20 109 1350 Straight Gas 4 74 4100 汽油产品中的蒸汽压和辛烷数可简单地按照它们中原料的构成比例加权平均而得到。 对于多余的原料可以以每桶$9的价格售出。 a)决策变量是什么？ b)给出LP模型 c)要合成多少Premium? 参考解答： a)决策变量是两个产品中三种原材料的数量。分别用Lc,Li,Ls,Pc,Pi,Ps表示。 b) Model: !Lc,Li,工s,Pc,Pi,Ps表示两个产品中三种原材料的数量： !原材料限制： Lc+Pc<=2700;Li+Pi<=1350::Ls+Pc<=4100: !表示剩余原料：

5 F1 0.0000000 0.1035937E-02 F2 22.06205 0.0000000 A1 14.23886 0.0000000 A2 0.0000000 0.2050311E-01 A3 0.0000000 0.1992597E-01 CB 0.0000000 0.3356920E-02 S1 200.0000 0.0000000 S2 29.43496 0.0000000 S3 200.0000 0.0000000 注意，调和后的产品仅仅利用了 7 种原材料。 在实践中，匹斯堡公司基本上每月要运行两次。第一次运行结束后，采购商根据递减 成本和影子价格来指导购买原材料。第二次运行结束后，制造商就会从生产的产品中获得 收益。 5.3 案例及参考解答 5-1. 这个星期，Exxoff公司必须对合成汽油产品作出决定。他们要合成两种汽油产品， 产品的特性列表如下： 汽油产品 蒸汽压 辛烷数 售价(S/桶) Lo-lead = 80 $ 9.80 Premium = 100 $12.00 构成两种汽油的原料及它们的特性列表如下： 原料 蒸汽压 辛烷数 本周可供量(桶) Cat-Cracked Gas 8 83 2700 Isopentane 20 109 1350 Straight Gas 4 74 4100 汽油产品中的蒸汽压和辛烷数可简单地按照它们中原料的构成比例加权平均而得到。 对于多余的原料可以以每桶$9的价格售出。 a) 决策变量是什么? b) 给出LP模型 c) 要合成多少Premium? 参考解答： a) 决策变量是两个产品中三种原材料的数量。分别用Lc，Li，Ls，Pc，Pi，Ps表示。 b) Model: !Lc，Li，Ls，Pc，Pi，Ps表示两个产品中三种原材料的数量; !原材料限制; Lc+Pc<=2700; Li+Pi<=1350; Ls+Pc<=4100; !表示剩余原料;

6 Lc+Pc+Y11=2700:Li+Pi+Y21=1350: Ls+Pc+Y31=4100: !质量要求； 8*Lc+20*Li+4*Ls80*(Lc+Li+Ls): 8*Pc+20*Pi+4*Ps 6*(Pc+Pi+Ps); 83*Pc+109*Pi+74*Ps>100*(Pc+Pi+Ps): !目标； max=9.8*(Lc+Li+Ls)+12*(Pc+Pi+Ps)+9*(Y11+Y21+Y31): @gin(Lc);@gin(Li);@gin(Ls);@gin(Pc);@gin(Pi);@gin(Ps); c)不合成Premium。合成Lo-lead7538桶，总利润79380.40美元。 End 5-2.Blendex石油公司用庚烷(Heptane)和辛烷(Octane)两种原料合成Regular和Premium 两种产品。每一升Regulari产品由50%庚烷和50%辛烷合成，每升Premium产品由40%庚烷与 60%辛烷组成。在生产计划期内，共有200,000升庚烷，310,000升辛烷的原料。每升Regular 和Premium的利润分别为0.03美元，0.04美元。 a)为了确定出Regular和Premium的产量，试建立相应的线性规划模型。 b)不使用计算机计算出最优产量。 参考解答： )分别用H和O表示两种原料的数量，用R和P表示两个产品的数量。模型如下： Model: !分别用RH,RO和PH,PO表示两个产品中两种原料的数量； !原材料限制； RH+PH<20;R0+P0<31;!单位是万升： !质量要求； RH=RO;4*PO=6*PH; !目标； max=0.03*(RH+R0)+0.04*(P0+PH); End b)利用质量要求消去两个变量，用图解法求得最优解：PH=20,PO=30,故生产 Premium50万升，总利润为2万美元。 S-3.Hackensack调和威士忌酒业公司进口Prime、Choice和Premium三个等级的威士忌 原料酒。将这些原料酒混合起来就可以生产出两个品牌的威士忌产品。 相关的质量指标是： 品牌 规格 售价($L) 苏格兰俱乐部 Prime≥60%且Premium≤20% $S6.80 约翰尼.金 Prime≥15%且Premium≤60% $5.70 三个等级原料酒的成本和供应量如下： 威士忌原料酒 本周供应量(L) 单价($L) Prime 2,000 $7.00 Choice 2,500 $5.00 Premium 1,200 $4.00

6 Lc+Pc+Y11=2700; Li+Pi+Y21=1350; Ls+Pc+Y31=4100; !质量要求; 8*Lc+ 20*Li+ 4*Ls 80*(Lc+Li+Ls); 8*Pc+ 20*Pi+ 4*Ps 100*(Pc+Pi+Ps); !目标; max=9.8*(Lc+Li+Ls)+12*(Pc+Pi+Ps)+9*(Y11+Y21+Y31); @gin(Lc);@gin(Li);@gin(Ls);@gin(Pc);@gin(Pi);@gin(Ps); c) 不合成Premium。合成Lo-lead7538桶，总利润79380.40美元。 End 5-2. Blendex石油公司用庚烷(Heptane)和辛烷(Octane)两种原料合成Regular和Premium 两种产品。每一升Regular产品由50%庚烷和50%辛烷合成，每升Premium产品由40%庚烷与 60%辛烷组成。在生产计划期内，共有200,000升庚烷，310,000升辛烷的原料。每升Regular 和Premium的利润分别为0.03美元，0.04美元。 a) 为了确定出Regular和Premium的产量，试建立相应的线性规划模型。 b) 不使用计算机计算出最优产量。 参考解答： a) 分别用H和O表示两种原料的数量，用R和P表示两个产品的数量。模型如下： Model: !分别用RH，RO和PH，PO表示两个产品中两种原料的数量; !原材料限制; RH+PH<20; RO+PO<31; !单位是万升; !质量要求; RH=RO; 4*PO=6*PH; !目标; max=0.03*(RH+RO)+0.04*(PO+PH); End b) 利用质量要求消去两个变量，用图解法求得最优解：PH=20，PO=30，故生产 Premium50万升，总利润为2万美元。 5-3. Hackensack调和威士忌酒业公司进口Prime、Choice和Premium三个等级的威士忌 原料酒。将这些原料酒混合起来就可以生产出两个品牌的威士忌产品。 相关的质量指标是： 品牌 规格 售价（$/L） 苏格兰.俱乐部 Prime≥60%且Premium≤20% $6.80 约翰尼.金 Prime≥15%且Premium≤60% $5.70 三个等级原料酒的成本和供应量如下： 威士忌原料酒 本周供应量（L） 单价（$/L） Prime 2,000 $7.00 Choice 2,500 $5.00 Premium 1,200 $4.00

Hackensac公司希望本周公司的利润达到最大化，而且认为可以利用线性规划来完成 相关的计算。两种品牌的产品各生产多少？产品的结构（三种原料的构成）如何？ 参考解答： Model: Sets: brand/scottish johnny /price,product; !品牌集合，有两个集合成员，共有属性为单价，生产量： stock/Prime Choice Premium/:supply,cost,number; !原料集合，有三个成员，所含属性有周可用量，成本单价，所需量： b_s(stock,brand):ounce,result; !派生集合，由品牌和原料派生而成的，属性有原料的要求，结果： Endsets data: price=@0LE('最优化案例5-3.xls','price'): supp1y=@oLE('最优化案例5-3.x1s','supply'): cost=@0LE('最优化案例5-3.x1s','cost'): ounce=eoLE('最优化案例5-3.xls','ounce'): enddata !以上用来将excel中数据输入到1ingo中。： @for(stock(i): number(i)=@sum(bs(i,j):result (i,j))); !各原料的总量： @for(brand(j): product(j)=@sum(b s(i,j):result(i,j))); !各产品的总量： max=@sum(brand(j):price(j)*product (j))-@sum(stock (i)cost (i)*num ber(i)); !目标函数： @for(stock(i): @sum(b_s(i,j)result (i,j))=ounce(i,j)*@sum(b_s(k,j)result (k,j))); !第一行的约束： @for(b_s(i,j)li#eq#3: result (i,j)<=ounce(i,j)*@sum(b_s(k,j)result (k,j))); ！第三行的约束： data: @0LB('最优化案例5-3.xls','result')=result; @oLB('最优化案例5-3.xls','number')=number;

7 Hackensac公司希望本周公司的利润达到最大化，而且认为可以利用线性规划来完成 相关的计算。两种品牌的产品各生产多少？产品的结构（三种原料的构成）如何？ 参考解答： Model: Sets: brand/scottish johnny /: price,product; !品牌集合，有两个集合成员，共有属性为单价，生产量; stock/Prime Choice Premium/: supply,cost,number; !原料集合，有三个成员，所含属性有周可用量，成本单价，所需量; b_s(stock,brand):ounce,result; !派生集合，由品牌和原料派生而成的，属性有原料的要求，结果; Endsets data: price=@OLE('最优化案例5-3.xls','price'); supply=@OLE('最优化案例5-3.xls','supply'); cost=@OLE('最优化案例5-3.xls','cost'); ounce=@OLE('最优化案例5-3.xls','ounce'); enddata !以上用来将excel中数据输入到lingo中。; @for(stock(i): number(i)=@sum(b_s(i,j):result(i,j))); !各原料的总量; @for(brand(j): product(j)=@sum(b_s(i,j):result(i,j))); !各产品的总量; max=@sum(brand(j):price(j)*product(j))-@sum(stock(i):cost(i)*num ber(i)); !目标函数; @for(stock(i): @sum(b_s(i,j):result(i,j))=ounce(i,j)*@sum(b_s(k,j):result(k,j))); !第一行的约束; @for(b_s(i,j)|i#eq#3: result(i,j)<=ounce(i,j)*@sum(b_s(k,j):result(k,j))); !第三行的约束; data: @OLE('最优化案例5-3.xls','result')=result; @OLE('最优化案例5-3.xls','number')=number;

@oLE('最优化案例5-3.xls','product')=product; enddata !将结果输出 ！resu1t(1,1)=1500: End 解答： 原料 品牌 苏格兰，俱乐部 约翰尼.金 各原料总需要量 Prime需要量 1526.67 473.33 2000.00 Choice需要量 1017.78 1482.22 2500.00 Premiumi需要量 0.00 1200.00 1200.00 各产品总生产量 2544.44 3155.56 总费用： $3,988.89 5-4.Sebastopol炼油厂加工来自委内瑞拉和沙特阿拉伯的两种不同类型的原油，加工后 形成轻质油和重质油两种产品。每一种原油既可以通过速成加工的模式来完成，也可以你 通过常规加工的模式来完成。轻质油和重质油的加工成本和数量既取决于加工所采用的模 式，也取决于原油的来源。也就是说，原油不同，成本不同：模式不同，成本也会不同。 原油加工的有关数据汇总于下面的表格。例如，在速成模式下，加工单位委内瑞拉原油可 以获得0.45单位的轻质油、0.52单位的重质油和0.03单位的废料。 速成加工 常规加工 委内瑞拉 沙特 委内瑞拉沙特」 轻油比例 0.45 0.60 0.49 0.68 重油比例 0.52 0.36 0.50 0.32 废料比例 0.03 0.04 0.01 0.00 单位沙特原油的成本是20美元，而单位委内瑞拉原油的成本是19美元。速成加工模式 加工单位原油的成本是2.50美元，常规加工模式加工单位原油的成本是2.10美元。正常情 况下，炼油厂一周可以加工10000单位的原油。而当炼油厂只进行速成加工时，一周可以 加工13000单位的原油。 在一周内，两种模式加工原油的比例不受限制。 单位轻质油和重质油两种产品的市场价格分别是27美元和25美元。建立一个LP模型来 描述购买原油种类、数量和加工模式。最佳的购买量和经营决策是什么？ 参考解答： Model: sets: a/1.1/:1: !原油种类； oil ven sau/:costs;

8 @OLE('最优化案例5-3.xls','product')=product; enddata !将结果输出; !result(1,1)=1500; End 解答： 5-4. Sebastopol炼油厂加工来自委内瑞拉和沙特阿拉伯的两种不同类型的原油，加工后 形成轻质油和重质油两种产品。每一种原油既可以通过速成加工的模式来完成，也可以你 通过常规加工的模式来完成。轻质油和重质油的加工成本和数量既取决于加工所采用的模 式，也取决于原油的来源。也就是说，原油不同，成本不同；模式不同，成本也会不同。 原油加工的有关数据汇总于下面的表格。例如，在速成模式下，加工单位委内瑞拉原油可 以获得0.45单位的轻质油、0.52单位的重质油和0.03单位的废料。 速成加工 常规加工 委内瑞拉 沙特 委内瑞拉 沙特 轻油比例 0.45 0.60 0.49 0.68 重油比例 0.52 0.36 0.50 0.32 废料比例 0.03 0.04 0.01 0.00 单位沙特原油的成本是20美元，而单位委内瑞拉原油的成本是19美元。速成加工模式 加工单位原油的成本是2.50美元，常规加工模式加工单位原油的成本是2.10美元。正常情 况下，炼油厂一周可以加工10000单位的原油。而当炼油厂只进行速成加工时，一周可以 加工13000单位的原油。 在一周内，两种模式加工原油的比例不受限制。 单位轻质油和重质油两种产品的市场价格分别是27美元和25美元。建立一个LP模型来 描述购买原油种类、数量和加工模式。最佳的购买量和经营决策是什么？ 参考解答： Model: sets: a/1.1/:l; !原油种类; oil / ven sau/: costs;

9 !处理方式： process short regular/:cost; !产成品： products light heavy /price; po(process,oil):use; !三者的派生集合： ppo(products process,oil):precent; !周产量限制数据； capacity 1.2/:amount; endsets data: costs=@0LE('最优化案例5-4.x1s'): cost=@0LB('最优化案例5-4.x1s'); price=@0LE('最优化案例5-4.xls'): precent=@oLE('最优化案例5-4.xls'); amount:=eoLE('最优化案例5-4.xls'); @0LE('最优化案例5-4.x1s')=use; @0LE('最优化案例5-4.x1s')=1; enddata !约束： @sum(oil(i)use(1,i))+@sum(oil(i)use(2,i))*1.3<amount (1); !目标函数： max=1(1）: 1(1)=@sum(products(k):@sum(po(i,j)use(i,j)*precent (k,i,j))*pric e(k)) -@sum(oil(i)@sum(process(j)use(j,i))*costs(i)) -@sum(process(i)@sum(oil(j):use(i,j))*cost(i)); use(2,2)=10000; End 解答： 快速处理 正常处理 委内瑞拉 沙特阿拉伯 委内瑞拉 沙特阿拉伯 轻型产品 5850.00 0.00 0.00 0.00 重型产品 6760.00 0.00 0.00 0.00 委内瑞拉 沙特阿拉伯 快速处理13000.00 0.00 总利润： $47,450.00 正常处理 0.00 0.00

9 !处理方式; process / short regular/: cost; !产成品; products / light heavy /: price; po(process,oil):use; !三者的派生集合; ppo(products ,process,oil): precent; !周产量限制数据; capacity / 1.2/: amount; endsets data: costs=@OLE('最优化案例5-4.xls'); cost=@OLE('最优化案例5-4.xls'); price=@OLE('最优化案例5-4.xls'); precent=@OLE('最优化案例5-4.xls'); amount=@OLE('最优化案例5-4.xls'); @OLE('最优化案例5-4.xls')=use; @OLE('最优化案例5-4.xls')=l; enddata !约束; @sum(oil(i):use(1,i))+@sum(oil(i):use(2,i))*1.3<amount(1); !目标函数; max=l(1); l(1)=@sum(products(k):@sum(po(i,j):use(i,j)*precent(k,i,j))*pric e(k)) -@sum(oil(i):@sum(process(j):use(j,i))*costs(i)) -@sum(process(i):@sum(oil(j):use(i,j))*cost(i)); use(2,2)=10000; End 解答：

10 5-5.假设你最近正为Beansoul煤业公司(Bcc)出了点问题二伤脑筋。Bcc有一些优质 煤煤矿的产量有所下降，而其余煤矿的产煤在销售方面很困难。人民电力公司(PP℃)是 一家电力企业，它是Bcc的重要客户之一。Bcc一直是将它的优质矿一贝基矿的产煤供应给 PPC。Bcc现在每天只能向PPc供应5OOO吨贝基煤。对于这些销售到PPc的贝基煤来说，Bcc 的成本（包括运输费用）是每吨81美元，而PPc每吨支付86美元。BCc还有其它4个煤矿， 这些煤矿的产煤不能销往PPC。PPc说这些煤矿产煤的质量不满足他们的要求。经过和PPC 详细磋商，他们同意只要能满足下面的质量要求，可以考虑购买一些混合煤：硫磺13000,水分<7%。你知道贝基煤是满足这些质量指标的，相 关的4个数据分别是：0.57%，5.56%，13029BTU和6.2%。Bcc4个其它煤矿产煤的质量指标 如下： 疏磺 粉尘 每吨成本 煤矿 水份 BTU/吨 (%) (%) (%) (销往PPC) Lex 14,201 0.88 6.76 5.1 73 Casper 10,630 0.11 4.36 4.6 90 Donora 13,200 0.71 6.66 7.6 74 Rocky 11.990 0.39 4.41 4.5 89 Lex、Casper、Donora和Rock4个煤矿每天产煤能力分别是4000吨、3500吨、3000吨和 7000吨。PPC每天平均消耗13000吨原煤。 BCc的销售主管听了与PPC谈判结果后惊喜若狂。他说“非常好！我们现在可以满足 PPc的需求了，每天可以供应给他13000吨原煤。”Bcc新上任的生产部主管与你也有同样的 感受，他说“让我们想一想。现在销售给PPC的原煤每吨的利润仅仅是5美元。我已经算过 了，如果我们将混合煤销售给PP℃，每吨可以获得7美元的利润。哇！你真是一个聪明的谈 判家！”。你对BCc将给出一个什么样的建议？ 参考解答： Model: sets: mines/1ex,casper,donora,rocky,becky./:x;!x表示实际产量； a/1.6/:: b/1.4/:zhiliang; minesa(mines,a):z;!z(i,1)表示BTU含量，z(i,2)表示疏磺含量，z(i,3)表示粉 尘含量，z(1,4)表示水分含量，z(1,5)表示成本，z(1,6)表示最高产量： endsets data: z=@o1e('最优化案例5-5.x1s','z'): zhiliang =eo1e('最优化案例5-5.xls','zhi1iang'): @o1e('最优化案例5-5.x1s','x')=x: enddata ！目标；

10 5-5. 假设你最近正为Beansoul煤业公司（Bcc）出了点问题二伤脑筋。Bcc有一些优质 煤煤矿的产量有所下降，而其余煤矿的产煤在销售方面很困难。人民电力公司（PPc）是 一家电力企业，它是Bcc的重要客户之一。Bcc一直是将它的优质矿—贝基矿的产煤供应给 PPc。Bcc现在每天只能向PPc供应5000吨贝基煤。对于这些销售到PPc的贝基煤来说，Bcc 的成本（包括运输费用）是每吨81美元，而PPc每吨支付86美元。Bcc还有其它4个煤矿， 这些煤矿的产煤不能销往PPc。PPc说这些煤矿产煤的质量不满足他们的要求。经过和PPC 详细磋商，他们同意只要能满足下面的质量要求，可以考虑购买一些混合煤：硫磺 13000，水分< 7%。你知道贝基煤是满足这些质量指标的，相 关的4个数据分别是：0.57%, 5.56%, 13029 BTU和6.2%。Bcc4个其它煤矿产煤的质量指标 如下： 煤矿 BTU/吨 硫磺 （%） 粉尘 （%） 水份 （%） 每吨成本 （销往PPC） Lex 14,201 0.88 6.76 5.1 73 Casper 10,630 0.11 4.36 4.6 90 Donora 13,200 0.71 6.66 7.6 74 Rocky 11,990 0.39 4.41 4.5 89 Lex、Casper、Donora和Rock4个煤矿每天产煤能力分别是4000吨、3500吨、3000吨和 7000吨。PPC每天平均消耗13000吨原煤。 Bcc的销售主管听了与PPC谈判结果后惊喜若狂。他说“非常好！我们现在可以满足 PPc的需求了，每天可以供应给他13000吨原煤。”Bcc新上任的生产部主管与你也有同样的 感受，他说“让我们想一想。现在销售给PPC的原煤每吨的利润仅仅是5美元。我已经算过 了，如果我们将混合煤销售给PPc，每吨可以获得7美元的利润。哇！你真是一个聪明的谈 判家！”。你对Bcc将给出一个什么样的建议？ 参考解答： Model: sets: mines/lex,casper,donora,rocky,becky/:x;!x表示实际产量; a/1.6/:; b/1.4/:zhiliang; minesa(mines,a):z;!z(i,1)表示BTU含量，z(i,2)表示硫磺含量，z(i,3)表示粉 尘含量，z(i,4)表示水分含量，z(i,5)表示成本，z(i,6)表示最高产量; endsets data: z= @ole('最优化案例5-5.xls','z'); zhiliang = @ole('最优化案例5-5.xls','zhiliang'); @ole('最优化案例5-5.xls','x')=x; enddata !目标;