清华大学：《微积分》课程教学资源_第六讲 导数与微分（二）

诈业 P67写题3,2 6(3)(6)(9)(11)(14)(17 ● 9(4)(8)(15)(21) 10(8).11(2).12(2) 02122

2021/2/20 1 作 业 6(3) (6) (9) (11) (14) (17). 9(4) (8) (15) (21). 10(8). 11(2). 12(2). P67 习题3.2

第六讲导数与微分(二) 忌数与微分的运犷法则 二、高阶导数 2021/2/20 2

2021/2/20 2 二、高阶导数 第六讲 导数与微分(二) 一、导数与微分的运算法则

导数与微分的运算法则 1.四则运算求导法则 设函数u(x),v(x)在x可导,则 (1)函数(x)±v(x)在x可导且 「u(x)±v(x)=u(x)±v(x) (2)函数Cu(x)在x可导(C为常数,且 ICu(=Cu(x) 2021/2/20

2021/2/20 3 一、导数与微分的运算法则 1. 四则运算求导法则 设函数u(x), v(x)在x可导,则 (1) 函数u(x) v(x)在x可导,且 [u(x)  v(x)] = u(x)  v(x) (2) 函 数C u(x)在x可 导(C为常数),且 [C u(x)] = C u(x)

(3)函数u(x)v(x在x可导,且 「u(x)·w(x)=l(x)·v(x)+u(x)·v(x) (4)函数“(x) 在x可导,且 (x) u(x) u(x) v(x-u(x).v(x) = vlr v(x)2 v(x)≠0) 2021/2/20

2021/2/20 4 (3) 函数[u(x) v(x)]在x可导,且 [u(x) v(x)] = u(x) v(x) + u(x) v(x) 函 数 在 可 导,且 ( ) ( ) (4) x v x u x 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ v x u x v x u x v x v x u x   −    = ( v(x)  0 )

证(3)设y=队u(x):v(x) Ay=u(x+ 4r) v(x+4c)-u(x).v(r) u(x+Ax)v(x+Ax)-u(xv(+4r) tu(x)v(x+4x)-u(x)v(x) =4n·(x+Ax)+u(x)·4v v(x+Ac)+u() ∠x∠v ∠x J=im分 A im[“(x+Ax)+u(x) 4x->0∠x4x-→04 Ax 可导必连续 L(x)·w(x)+Lx)卩(x 2021/2/20

2021/2/20 5 设y = u(x) v(x) = u(x + x)v(x + x) − u(x)v(x + x) = u v(x + x) + u(x)v + u(x)v(x + x) − u(x)v(x) [证] (3) x v v x x u x x u x y        =  ( + )+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim [ ( ) ( ) ] 0 0 u x v x u x v x x v v x x u x x u x y y x x =   +    = =  + +  → →          可导必连续 y = u(x + x) v(x + x) − u(x) v(x)

「例7求函数 5 = 4x+2cos x-Inx+sin 2 的导数 「解 (x'-4x+2 cos x-Inx+sin 2) =(x)=4(x)+2(cos x) -(n x)+(sin 2) =5x=12x=sinx 2021/2/20 6

2021/2/20 6 的导数 例 求函数 4 2cos ln sin 2 [ 7] 5 3 y = x − x + x − x + x x x x 1 5 12 2sin 4 2 = − − − [解 ]( ) 4( ) 2(cos ) (ln ) (sin2) 5 3 = x  − x  + x  − x  +  ( 4 2cos ln sin2) 5 3 y = x − x + x − x + 

「例]求函数f(x)=tanx的导数 SIn 解!( (tan x)'=( cos (sin x).cos x-sin x(cos x) 2 cos x cos x coS x-sin x(sin x) cos x 〔tanx)y=secx = 2-secx。 cos x 2021/2/20 cos x

2021/2/20 7 ) cos sin (tan ) = (  x x x x x x x x 2 cos (sin ) cos − sin (cos ) = sec . cos 1 cos cos cos sin ( sin ) 2 2 2 x x x x x x x = =  −  − = [例8] 求函数 f (x) = tan x的导数 [解] x x x 2 2 cos 1 (tan ) sec =  =

2、复合函数导数公式 (1)复合函数微分法(链式法则) 设函数y=f(u)在点u可导函数u=g(x) 在点x可导,则复合函数y=fg(x在点x 也可导,且 dfig(x)l =f'[g(x)·g(x) d 或 _ X 2021/220 8

2021/2/20 8 2、复合函数导数公式 （1）复合函数微分法（链式法则） 也可导 且 在 点 可 导 则复合函数 在 点 设函数 在 点 可 导 函 数 , , [ ( )] ( ) , ( ) x y f g x x y f u u u g x = = = dx du du dy dx dy 或 =  [ ( )] ( ) [ ( )] f g x g x dx df g x =   

4∠ 证】m=如M 4 m A→0Ln八ax>0∠x =f'(g(x)g'(x) du dx 上面的证法有没有问题? 当Ax→0时,Ax≠0 不能保证中间变量的增量 A=g(x+Ax)-g(x)总不等于零 2021/2/20

2021/2/20 9 [证] x y x    0 lim →              =      =  → → → x u u y x u u y x u x          0  0  0 lim lim lim dx du du dy =  = f (g(x))g(x) 当x →0时,x  0 不能保证中间变量的增量 u = g(x + x) − g(x) 总不等于零 上面的证法有没有问题？

证]y=f(u)可导→im3=f(a) → =f(u+a (im a=0) ∠n→>0 当M≠时,上式化为 4=f(an)·+a.A(1) 当=0时,y=f(u+n)-f(u)=0 (1)式仍然成立 小y u = ac 2021/220 X ∠x ∠x

2021/2/20 10 [证] y = f (u)可导     = f (u) + u y (lim 0) 0 = →  u lim ( ) 0 f u u y u =  →    当u  0时,上式化为 y = f (u)u + u (1) 当u = 0时, y = f (u+ u)− f (u) = 0 (1) 式仍然成立！ x u x u f u x y         = ( ) + 