清华大学：《微积分》课程教学资源_小结（2/2）

微积分(一)考试 时间:2002年11月15日晚:7:209:20 地点:(1)明理楼214 生物系、附中2、其他选修的同学 (2)明理楼321 物理系 答疑:2002年11月15日(五),在上课的 时间地点。 2021/2/20

2021/2/20 1 微积分（一）考试 时间：2002年11月15日 晚：7:20—9:20 地点:(1) 明理楼214 生物系、附中2、其他选修的同学 (2) 明理楼321 物理系 答疑：2002年11月15日（五），在上课的 时间地点

微积分(一)小结() 2021/2/20 2

2021/2/20 2 微积分 (一)小结（续）

六不定积分 (-)基本概念 1原函数 若在区间上F(x)=f(x),则称F(x) 是f(x)在区间/上的一个原函数 2不定积分 f(x)的全体原函数(x)+C,(C为 任意常数)称为(x)在区间上的不定积分 记作「f(x)dx=F(x)+C 2021/2/20

2021/2/20 3 六.不定积分 (一)基本概念 1.原函数 是 在区间 上的一个原函数。 若在区间 上 ，则称 f x I I F x f x F x ( ) '( ) = ( ) ( ) 2.不定积分  = + + f x dx F x C f x f x F x C C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 记 作 任意常数）称为 在区间上的不定积分， 的全体原函数 ， （ 为

(二)基本性质 F(dx= F(x+C 2.(I f(xdx) '=f(x) 3. dd f()dx))=f(x)dx 4. kf(x)dx=k f(x)dx, k*0 5.(f(x)±g(x)dbx=|f(x)dx±g(x)d 2021/2/20

2021/2/20 4 (二)基本性质  1. F'(x)dx = F(x) +C  2.( f (x)dx)'= f (x)  3. d( f (x)dx)) = f (x)dx   4. k f (x)dx = k f (x)dx , k  0    5. ( f (x)  g(x))dx = f (x)dx  g(x)dx

(三)基本公式 1.x dx xa+1+C(a≠-1) 1+c lx=In/ x+C 3.e*dx=e*+C 4.[aax=,a2+C(a>0,a≠1) 5. sin xdx=-coSx+C 6. cos xdx =sinx+C 2021/2/20

2021/2/20 5 (三)基本公式 ( 1) 1 1 1. 1 +  − + = +      x dx x C dx x C x = +  ln 1 2. e dx e C x x = +  3. 5.  sin xdx = −cos x +C 6.  cos xdx = sin x +C ( 0, 1) ln 1 4. = +    a C a a a a dx x x

7. sec xdx= tanx+o 8. csc xdx=-cotx+C dx= arctan+ c 1+tx 10 dx arcsinx+C 2 11. tan xsecxdx=secx+C 12. cot x csc xdx=-cscx+C 2021/2/20

2021/2/20 6 xdx = x + C  7. sec tan 2 8.  csc xdx = −cot x +C 2 dx x C x = + +  arctan 1 1 9. 2 dx x C x = + −  arcsin 1 1 10. 2 11.  tan x secxdx = secx +C x xdx = − x + C  12. cot csc csc

13 2 arctan +c (a>0) a x dx= arcsin -+c(a>0) 2 15. secxdx= In tan x+secx+C 16. csc xdx=-Incotx +cscx+C atx 17. In +c 2 2 2 - 2021/2/20

2021/2/20 7 arctan ( 0) 1 1 13. 2 2 = +  +  C a a x a dx a x arcsin ( 0) 1 14. 2 2 = +  −  C a a x dx a x 15.  secxdx = ln tan x + secx +C 16.  csc xdx = −ln cot x + csc x +C C a x a x a dx a x + − + = −  ln 2 1 1 17. 2 2

18 dx=In(x+va+x)+0 2 a x 19. shxdx=chx+C 20. chxdx= shx+C (四)计算方法 1利用基本公式 2021/2/20

2021/2/20 8 dx x a x C a x = + + + +  ln( ) 1 18. 2 2 2 2 19.  shxdx = chx +C chxdx = shx + C  20. (四)计算方法 1.利用基本公式

2凑微分法 f(e dx=g(p(x)o'(x)dx=g((x))dp(x) 3变量置换法 令x=p(t) ∫f(x)dx f(小(t)y'(dt =F(t)+C=F(中(x))+C 4分部积分法 uav=uv 2021/2/20

2021/2/20 9 F t C F x C f x dx f t t dt x t = + = + = − =   ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) '( ) 3. 1 ( )    令  变量置换法   udv = uv − vdu 4.分部积分法    ( ) = ( ( )) '( ) = ( ( )) ( ) 2. f x dx g  x  x dx g  x d x 凑微分法

七定积分 (-)基本概念 1定义 设f(x)在a,b止上有定义对a,b任意 划分{xkh0:a=x<x1<x2<…<xn=b 及vk∈[x k-19~k (k=1,2,,n),令 Axk=xk -xk-I(h=1, 2, . ,n),n=max(Axk) k≤ 如果板限m∑f(5k)4xk存在则称此极 =1 2021/2/20

2021/2/20 10 七.定积分 (一)基本概念 1.定义 如果极限 存 在 则称此极 及 令 划 分 设 在 上有定义 对 的任意 lim ( ) , ( 1,2, , ), max( ) [ , ] ( 1,2, , ), { } : ( ) [ , ] , [ , ] 1 0 1 1 1 0 0 1 2 k n k k k k n k k k k k k n n k k f x x x x k n x x x k n x a x x x x b f x a b a b        = →   − − = = − = =   = =     =   