清华大学：《微积分》课程教学资源_第十九讲 定积分的应用（一）

作业 P201习题711(5)2.8(2) P210习题7211(1).15(1) P218综合题5 Pll3习题4315(2) 预习:P211218 2021/2/20

2021/2/20 1 作业 P201 习题7.1 1(5) 2. 8(2). 预习: P211—218 P210 习题7.2 11(1). 15(1) P218 综合题 5. P113 习题4.3 15(2)

第十九讲 定积分的应用(一) 微元分析法 几何应用 2021/2/20 2

2021/2/20 2 第十九讲 定积分的应用（一） 二、几何应用 一、微元分析法

、微元分析法 可以应用定积分计算的量有如下特点 (1)不均匀变化的整体量4依赖于 自变量x的某个区间a,b (2)具有可加性即,A=∑A4 (3)部分量A可“以不变代变 求得近似值A41≈f(2)·4x1 2021/2/20

2021/2/20 3 [ , ]. (1) x a b A 自变量 的某个区间 不均匀变化的整体量 依赖于 = = n i A Ai 1 (2)具有可加性.即,  i i i i A f x A      ( ) (3) 求得近似值 部分量 可“以不变代变” 可以应用定积分计算的量有如下特点: 一、微元分析法

=f(x)f(=4(b) 关键是 部分量 的近似 A() x xtx b f(x)∈Cla,b A(x)=f(t→A(x)=f(x) d a= f(rdx AA≈dA=f(x)dx 20204A-f(x)bx=o(4x)(4x→>0)

2021/2/20 4 x A(x) x +  x A x y a b y = f (x) o  = xa A(x) f (t)dt d A = f (x)dx  A(x) = f (x) f (x)C[a, b]  A  d A = f (x)dx  A− f (x)dx = o( x) ( x → 0) 关键是 部分量 的近似 f ( t )dt A ( b ) ba = 

微元分析法 第一步:分割区间a,b,取具有代表性 的小区间x,x+Axl;不变代变”写出 局部量的近似值AA≈f(x)4x 微分近似 要求:AA-f(x)Ax=9(4x) 第二步:令4x→>0,微元在区间a,b上 无限积累得定积分就是整体量 2021/2/20 A=Sf(x)dx

2021/2/20 5 局部量的近似值 的小区间 “不变代变”写 出 第一步：分割区间 取具有代表性 [ , ], , [ , ], x x x a b +   A  f (x) x 无限积累得定积分就是整体量 第二步：令 微元在区间 上 ,  x → 0, [a, b]  = b a A f (x)dx 微分近似 要求： A− f (x) x = ( x) 微元分析法

二、几何应用 (-)平面图形的面积 1.直角坐标系下平面图形面积的计算 (1)由直线x=a,x=b及x轴和连续 曲线y=f(x)所围曲边梯形的面积 根据定积分的定义和几何意义知 A=」f(x)4x 2021/2/20 6

2021/2/20 6 二、几何应用 （一）平面图形的面积 1. 直角坐标系下平面图形面积的计算 y f x A x a x b x 曲 线 所围曲边梯形的面积 由直线 及 轴和连续 ( ) (1) , = = = 根据定积分的定义和几何意义知  = b a A f (x) dx

(2)由曲线y=f(x),y=g(x)和直线 x=a,x=b所围成的面积A 先看,g(x)≤f(x)x∈[u,b fo 面积微元 dA=[∫(x)-g(x)t y=g(x) A=If(x)-g(x)ldx xhtofbx ∫mf(x)-g(x)adx 2021/2/20

2021/2/20 7 先看, g(x)  f(x) x[a, b] x a x b A y f x y g x 所围成的面积 由曲线 和直线 = = = = , (2) ( ), ( )  = − b a A [ f (x) g(x)]dx 面积微元 x x + dx dA = [ f (x) − g(x)]dx  = − b a A f (x) g(x) dx a b x y o y = f (x) y = g(x)

「例求由曲线xy=1及直线p=x,x=2 所围成的面积A 「解解方程组 =1 d y y=5 ,)lx=2 2 2 3 n 2 2 2 2021/2/20

2021/2/20 8 x y y = x xy = 1 x = 2 o 2 1 (1, 1) . [ 1] 1 , 2 A xy y x x 所围成的面积 例 求由曲线 = 及直线 = =    = = y x x y 1 解方程组   = − =  1 1 2 1 x x [解]  = − 2 1 ) 1 ( dx x A x ln 2 2 3 ln ) 2 ( | 2 1 2 = − x = − x

设连续函数p(y),v(y)满足 0≤y(y)≤q(y)y∈lc,d 求由曲线x=p(y,x=y(y2和直线 y=c,y=d所围成的面积A 十 v(k x=p( 面积公式: A=.@(y)-v(y)d 2021/2/20

2021/2/20 9 设连续函数( y),( y)满足 0 ( y)  ( y) y[c,d] y c y d A x y x y 所围成的面积 求由曲线 和直线 = = = = ,  ( ),  ( ), 面积公式： = − d c A [( y) ( y)]dy x x = ( y) c d x = ( y) y o y y + dy

「例2求由曲线x=5y2,x=1+y2所围成 的面积A 「解解方程组 x=5 x=1 X=3→ x=1+y 2 A=2A1=22(1+y2-5y2)d 22(1-4y2)d 0 ,=2(y-3 )此 2021/2/20 0

2021/2/20 10 . [ 2] 5 , 1 2 2 A x y x y 的面积 例 求由曲线 = = + 所围成    = + = 2 2 1 5 x y x y      = − =  2 1 2 1 2 1 y y [解] 解方程组 o x y 2 x = 1+ y 2 x = 5 y  = = + − 2 1 0 2 2 1 A 2A 2 (1 y 5 y )dy 3 2 ) 3 4 2( | 2 1 0 3 = y − y = 2 1 A1  = − 2 1 0 2 2 (1 4 y )dy