清华大学：《微积分》课程教学资源_第十三讲 不定积分（一）续

作业 P129习题5,2 1(1).6.9 P133习题5.3 1(3)(6)(9).2(3)(5)(11) 3(3)(7)(9)(10).4(3)(8) 预习:P135-141 2021/2/20

2021/2/20 1 P129 习题5.2 1(1). 6. 9. P133 习题5.3 1(3)(6)(9). 2(3)(5)(11). 3(3)(7)(9)(10). 4(3)(8). 作 业 预习：P135—141

第十三讲不定积分(一) 原函教与不定积分概念 二、基本积分表 三、凑微分法 2021/2/20 2

2021/2/20 2 第十三讲 不定积分（一） 一、原函数与不定积分概念 二、基本积分表 三、凑微分法

、原函数与不定积分概念 (1)从运算与逆运算看 初等数学中加法与减法、乘法与除法 乘方与开方等,都是互逆的运算。 微分运算是对一个可导函数求导数。 微分运算的逆运算是什麽? 可题:已知函数∫(x),要求这样一个函数 F(x),使F(x)的导函数正是f(x) 这就是求原函数和不定积分的运算 2021/2/20

2021/2/20 3 一、原函数与不定积分概念 （1） 从运算与逆运算看 初等数学中加法与减法、乘法与除法、 乘方与开方等，都是互逆的运算。 微分运算是对一个可导函数求导数。 微分运算的逆运算是什麽？ 问题： ( ), ( ) ( ). ( ), F x F x f x f x 使 的导函数正是 已知函数 要求这样一个函数 这就是求原函数和不定积分的运算

(2)从物理问题看 已知运动规律=S(t),要求瞬时速度 (t) 求导数:v(t)=S'(t) 反问题 已知瞬时速庋(t),要求运动规律 S=S(t=? 求原函数:S(t),使S(t)=v(t) 2021/2/20

2021/2/20 4 ( ) ( ) ( ) ? ( ), v t S t v t S S t =  = = 求导数： 已知运动规律 要求瞬时速度 （2） 从物理问题看 : ( ), ( ) ( ) ( ) ? ( ), : S t S t v t S S t v t  = = = 求原函数 使 已知瞬时速度 要求运动规律 反问题

(-)原函数的定义 设f(x)在区间I上有定义若另有一个 可导函数F(x),使Vx∈I,都有 F'(x)=f(x) E dF(x)=f(x)dx 则称F(x)是f(x)在I上的一个原函数 「例F(x)=x3是f(x)=3x2 在区间(-∞,+∞)上的一个原函数 例2F(x)= arcsinx是f(x)= 1-x2 2012在区间(-1,1)上的一个原函数5

2021/2/20 5 ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ( ) . 则 称 是 在 上的一个原函数 或 可导函数 使 都 有 设 在区间 上有定义若另有一个 F x f x I F x f x dF x f x dx F x x I f x I  = =   （一）原函数的定义 ( , ) . [ 1] ( ) ( ) 3 3 2 在区 间 上的一个原函数 例 是 −  +  F x = x f x = x ( 1, 1) . 1 1 [ 2] ( ) arcsin ( ) 2 在区 间 上的一个原函数 例 是 − − = = x F x x f x

c∈R,(x3+c)=3x2→ (x3+c)也是3x2在R上的原函数 个函数若存在一个原函数, 则它必有无穷多个原函数。 关于原函数有两个理论问题: (a)原函数的存在问题 结论:若函数f(x)在区间I上连续 则f(x)在区间/上存在原函数 b)原函数的结构问题 2021/2/20 6

2021/2/20 6 关于原函数有两个理论问题: （a）原函数的存在问题 ( ) . ( ) , 则 在区间 上存在原函数 若函数 在区间 上连续 f x I 结论: f x I （b）原函数的结构问题 ( ) 3 . , ( ) 3 3 2 3 2 x c 也 是 x 在R上的原函数 c R x c x +   +  =  一个函数若存在一个原函数， 则它必有无穷多个原函数

定理若F(x)是f(x)在区间/上的一个 原函数,则F(x)+C是f(x)的全体 原函数,其中C为任意常数 证①证明F(x)+C是f(x)在I上的 个原函数 「F(x)+CI=F(x)=f(x)Vx∈I →F(x)+C是f(x)在I上的一个 原函数 2021/220

2021/2/20 7 [F(x) + C] = F(x) = f (x) x  I , . , ( ) ( ) ( ) ( ) 原函数 其 中 为任意常数 原函数 则 是 的全体 若 是 在区间 上的一个 CF x C f x F x f x I + [定理1] [证] 一个原函数 （1）证明F ( x ) + C是f ( x ) 在 I 上 的 原函数  F ( x ) + C 是 f ( x ) 在 I 上的一个

证明f(x)在I上的任意一个原函数 都可以表示为(x)+C的形式 设G(x)是f(x)在/上的任何一个原函数 IG(x-F(xr=g(x)-F(x) f(x)-f(x)=0Vx∈I 由拉格朗日中值定理的论知 G(x)-F(x)=CVx∈I 即G(x)=F(x)+CVx∈I 2021/2/2 8

2021/2/20 8 设G(x)是 f (x)在I上的任何一个原函数 f x f x x I G x F x G x F x = − =   −  =  −  ( ) ( ) 0 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 由拉格朗日中值定理的推论知 G(x) − F(x) = C x  I 即 G(x) = F(x) + C x  I 都可以表示为 的形式 （）证明 在 上的任意一个原函数 F x C f x I ( ) + 2 ( )

(二)不定积分的定义 设f(x)在区间/上存在原函数F(x), 则其原函数的全体F(x)+C称为f(x) 在区间Ⅰ上的不定积分 记作 被积函数 积分号 积分常数 f(x)dx=F(x)+C常 积分变量 2021/2/20

2021/2/20 9 . ( ) ( ) ( ) ( ), 在区间 上的不定积分 则其原函数的全体 称 为 设 在区间 上存在原函数 I F x C f x f x I F x +  f (x)dx = F(x)+C 积分变量 积 分 常 数 积 分 号 （二）不定积分的定义 记作: 被积函数

积分曲线与积分曲线族 F(x) 积分曲线 y=F(x)+C积分曲线族 20212/20

2021/2/20 10 y = F(x) + C 积分曲线族 x x y o 积分曲线 y = F(x) 积分曲线与积分曲线族