清华大学：《微积分》课程教学资源_第十五讲 不定积分（三）

作业 P150习题56 l(5)(7)(15)2(3).3(1) 4(5).5(1)(3) P155缭合题 23.24.30.48.63 复习:P124155 预习:P158166 2021/2/20

2021/2/20 1 作业 P150 习题5.6 1(5)(7)(15). 2(3). 3(1). 4(5). 5(1)(3). P155 综合题 23. 24. 30. 48. 63. 复习：P124—155 预习：P158—166

第十五讲不定积分(三) 有理函数的积分 简单无理式的积分 2021/2/20 2

2021/2/20 2 第十五讲 不定积分（三） 一、有理函数的积分 二、简单无理式的积分

有理函数的积分 (-)代数有理函数的积分R(x)=(x) 2m(x) 其中P()=ax+ax-4+…+an1x+n 2m(x)=box"+b,x-t,+bmx+b 当n<m时,真分式;当n≥m时,假分式 代数有理函数=多项式+真分式 例如: x 2 x+x+/x-1 x2+x+1 2021/2/20

2021/2/20 3 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x m n = m m m m m n n n n n Q x b x b x b x b P x a x a x a x a = + + + + = + + + + − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( )  其 中  • 代数有理函数=多项式+ 真分式1 2 1 1 1 2 2 3 + + = − + + + + x x x x x x 例如： 一、有理函数的积分 （一）代数有理函数的积分 当n  m时, 真分式; 当n  m时, 假分式

真分式可分解为四类蟠分式的和 (2) Bx+c Br+c 2 x t px ta (x px +q 四类最简分式的积分 dx= AInlx-a+c (2) 2021/2/20 (1-n)(x-a)"+c

2021/2/20 4 • 真分式可分解为四类最简分式的和 x a A − (1) n x a A ( ) (2) − x px q Bx C + + + 2 (3) n x px q Bx C ( ) (4) 2 + + +  = − + − dx A x a c x a A (1) ln c n x a A dx x a A n n + − − = −  −1 ( ) (1 )( ) (2) 四类最简分式的积分

Bx+c d=262x+p)-1Bp+C 2 x t px+q x t px t q Bp-2C BInx px+ q 2 x t px t q Bp-2C d x BInx+px+ 2 2 2 x +(q-") 2021/2/20

2021/2/20 5   + + + − + = + + + dx x px q B x p B p C dx x px q B x C 2 2 1 2 1 2 (2 ) (3)  + + − = + + − x px q B p C dx B x px q 2 2 2 2 ln 2 1  + + − − = + + − 2 ( ) ( ) 2 ln 2 1 4 2 2 2 2 p p x q Bp C dx B x px q

(x+ma=门B(2x+p)-Bp+d Bx+c n x+ pr+ B 2(1-n)(x2+px+q)”1 Bp-2c 2JI(x+212+(q-") 2021/2/20

2021/2/20 6   + + + − + = + + + dx x px q B x p B p C dx x px q B x C n n ( ) (2 ) ( ) (4) 2 2 1 2 1 2 2 1 ( ) 1 2(1 ) − − + + = n n x px q B  + + − − − p p n x q Bp C dx 2 [( ) ( )] 2 4 2 2 2

如何将真分式分解为最筒分式之和? 定理1:任意一个实系数多项式 om(x=b 0勿 +bxm+…+bn1x+b 都可以分解为一个常数与形如 (x-a)与(x2+px+q)(p2-4q<0) 诸因式之积: Qn(x)=b(x-a1)(x-a2)2…(x-a,) (x2+p1x+q1)(x2+n2x+q2) 2021/2/20 (x tp x+ q

2021/2/20 7 : ( ) ( ) ( 4 0) ( ) 2 2 1 1 0 1 诸因式之积 与 都可以分解为一个常数与形如 任意一个实系数多项式 − + + −  = + + + − + − x a x px q p q Q x b x b x b x b k l m m m m m  如何将真分式分解为最简分式之和？ 定理1： r s l r r l l k s k k m x p x q x p x q x p x q Q x b x a x a x a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 0 1 2 1 2 1 2 + + + + + + = − − −   

定理2:设是一个真分式则它可以 唯一地分解为最简分式和,分解规则 如下: (1)一次单因式对应一项 (x-a) (2)一次k重因式对应项 2 k k X一 c)2 X一 2021/2/20 8

2021/2/20 8 : , , ( ) ( ) 如 下 唯一地分解为最简分式之 和 分解规则 设 是一个真分式则它可以 Q x P x m 定理 n 2： ( ) (1) x a A − 一次单因式对应一项 k k x a A x a A x a A k k ( ) ( ) ( ) (2) 2 1 2 − + + − + −  一 次 重因式对应 项

(3)二次单因式对应一项 Bx +c x t px t q (4)二次k重因式对应项 Bx+Crt B x+c (x2+px+q)(x2+px+/× 2 2 B 十∴十 k+C k (x+ px+q 2021/2/20

2021/2/20 9 x px q B x C + + + 2 (3) 二次单因式对应一项 k k k x px q B x C x px q B x C x px q B x C k k ( ) ( ) ( ) (4) 2 2 2 2 2 2 1 1 + + + + + + + + + + + + +   二 次 重因式对应 项

x-5 「例山将 2 分解为最简分式的和 x-3x2+4 解]()将分母分解因式 x3-3x2+4=(x+1)(x-2)2 (2)将真分式分解 x-5 B x3-3x2+4x+1x-2(x-2)2 (3)用比较系数法确定常数,B,C x-5=4(x-2)2+B(x+1)x-2)+C(x+1) 2021/2/20 =(4+B)x2+(-4A-B+C)x+(4A-2B+C

2021/2/20 10 例 将 分解为最简分式的和 3 4 5 [ 1] 3 2 − + − x x x (1)将分母分解因式 3 2 2 x − 3x + 4 = (x +1)(x − 2) (2)将真分式分解 3 2 2 3 4 1 2 ( 2) 5 − + − + + = − + − x C x B x A x x x [解] (3)用比较系数法确定常数A, B,C ( ) ( 4 ) (4 2 ) 5 ( 2) ( 1)( 2) ( 1) 2 2 A B x A B C x A B C x A x B x x C x = + + − − + + − + − = − + + − + +