清华大学：《微积分》课程教学资源_第十七讲 定积分（二）

作业 P174习题63 1(3)(4).2(2).4.5 7(3)(5)(11).8(1)(3) 复习:P168-186 2021/2/20

2021/2/20 1 P174习题6.3 1(3)(4). 2(2). 4. 5. 7(3)(5)(11). 8(1)(3). 复习: P168—186 作业

第十七讲定积分(二) 变上限定积分 二、牛顿一莱布尼兹公式 定积分的换元积分法 四、定积分的分部积分法 2021/2/20 2

2021/2/20 2 第十七讲 定积分（二） 二、牛顿-莱布尼兹公式 一、变上限定积分 三、定积分的换元积分法 四、定积分的分部积分法

变上限定积分 若f(x)在[a,b上可积则x∈[a,b f(x)在a,xl上也可积 记作F(x)=f(Mt(a≤x≤b) /上限变量 x 或F(x)= f(x)dx(a≤x≤b) 是上限的函数积分变量 2021/2/20

2021/2/20 3 ( ) [ , ] . ( ) [ , ] , [ , ] 在 上也可积 若 在 上可积 则 f x a x f x a b x  a b 上限变量 是上限x的函数 积分变量  x a 记作 F(x) = f (t)dt (a  x  b) 或 F(x) =  x a f (x)dx (a  x  b) 一、变上限定积分

定理:(1)若f(x)∈Ra,b,则F(x)∈C|a,b]; (2)若f(x)∈Ca,b则F(x)∈D|a,b 且F'(x)=f(x)Vx∈|a,b [注意]连续函数一定存在原函数! d d a f(x)dx)=f(x) 质点以速(t)从时刻开始作直线运动 在时刻走过路程O)= Cv(edt 当v(连续时就有s(t)=d42(a)ll=v() 2021/2/20 路程函数是速度函数的原函数

2021/2/20 4 定理： ( ) ( ) [ , ] (2) ( ) [ , ], ( ) [ , ] (1) ( ) [ , ], ( ) [ , ]; F x f x x a b f x C a b F x D a b f x R a b F x C a b  =       且 若 则 若 则 ( f (x)dx) f (x) dx d x a =  在时刻走过路程 质点以速度 从时刻 开始作直线运动 t v(t) a ,  = t a s(t) v( )d 当v(t)连续时就有 ( ) [ v( )d ] v(t) dt d s t t a  = =    [注意] 连续函数一定存在原函数 ！ 路程函数是速度函数的原函数

证](1)用连续定义证明 任取x∈[a,b,x+Ax∈[a,b x+4r F(x+△)-F(x)=∫f(ot-jf(t x+Ax x+Ax =「f()df()=」f(r)dt ∫∈Ra,b→彐M>0,f(x)≤MVx∈a,b x+dl x+Ar 0sIF(x+dx)-F(x)=Sr(d Jr(dt ≤M4x→0(4x>0) 2021/2/20

2021/2/20 5 [证] (1) 用连续定义证明 任取 x[a, b], x +  x[a, b]   + − = − + x a x x a F(x x) F(x) f (t)dt f (t)dt     = + + a x x x a f (t)dt f (t)dt   + = x x x f t dt  ( ) f  R[a, b]  M  0, f (x)  M  x [a, b]   + +  + − =  x x x x x x F x x F x f t dt f t dt   0 (  ) ( ) ( ) ( )  M   x → 0 ( x → 0)

证](2)用导数定义证明 任取x∈a,b,x+Ax∈{a,b 由(1),有F(x)=lim F(x+4r)-F(x) A→>0 x+Ar n f(tdt Ax-÷0x f(x)∈CI,b利用积分中值定理得至 x+Ar F(x=lim f(tdt= lim f() Ax→>0Ax Ax→0 占介于x与x+4x之间 f∫(x) 2014x→>0→5>x

2021/2/20 6 x F x x F x F x x    ( ) ( ) (1), ( ) lim 0 + −  = → 由 有  + → =  x x x x f t dt x    ( ) 1 lim 0 [证] (2) 用导数定义证明 任取 x[a, b], x +  x[a, b] f (x)C[a, b],利用积分中值定理得到 ( ) lim ( ) 1 ( ) lim 0 0      f t dt f x F x x x x x x → + →  =  =  = f (x) x x x x x →  → +     0 介 于 与 之 间

x 「例求(1) er;(2) eldt 解]因为e是连续函数所以有 e'dt =e 令 u= 2x= exe 2021/2/20

2021/2/20 7             2 1 1 [ 1] (1) ; (2) x t x t e dt dx d e dt dx d 例 求 因为e x 是连续函数,所以有 x x t e dt e dx d =     1 (1) =        2 1 (2) x t e dt dx d 2 2 2 u x = e  x = xe dx du e dt du d u t   [ ] 1 [解] 2 令 u = x

2 「例2求 e at dx 解 dt=ledt+ ∫ e dt dt dt at e dt d x db =2xe2-(-3x2)e=2x2+3xe 2021/2/20

2021/2/20 8       − 2 3 [ 2] x x t e dt dx d 例 求    = + − − 2 3 2 3 1 1 x t x t x x t e dt e dt e dt 2 3 2 ( 3 ) x 2 x xe x e − = − −       −       =           − − 2 2 3 3 1 1 x t x t x x t e dt dx d e dt dx d e dt dx d 2 3 2 2 3 x x xe x e − = +   − = − 2 3 1 1 x t x t e dt e dt [解]

0 「例3设由方程「e+ sindt=0 能确定隐函数y=p(x),求可 解]方程两边对求导得到 dy 么Si=0 解出,得 注意]变上限定积分给出一种表示函数的方 法,对这种函数也可以讨论各种性态 2021/2/20

2021/2/20 9 ( ), . [ 3] sin 0 0 2 0 2 dx dy y y x e dt t dt x y t 能确定隐函数 求 例 设由方程 = + =   − 方程两边对x求导,得到 sin 0 2 2  − = − x dx dy e y 解出 ,得 dx dy 2 sin 2 e x dx dy y = [解] [注意] 变上限定积分给出一种表示函数的方 法，对这种函数也可以讨论各种性态

例4设参数方程x= sin idT,y= cos idT 确定函数y=y(x),求 dy day 2 「解 dy y(t) cos t cot t x x'(t) sint d d ()r(cott dx x'(t) sint sin t 2021/2/20

2021/2/20 10 ( ), , . [ 4] sin , cos 2 2 0 0 dxd y dx dy y y xx d y d t t 确定函数 求 例 设参数方程= = =       =  = ( ) ( ) x t y t dx dy =   = ( ) ( ) 2 2 dx x t d y dx t dy t t t cot sin cos = − − = −  tt t sin ( cot ) t 3 sin1 [ 解 ]