清华大学：《微积分》课程教学资源_第十六讲 定积分（一）

作业 P166习题62 1(1)(5).2(2).3(1)(3) 4(4)(5).5(1) 复习:P158166 预习:P168-174 2021/2/20

2021/2/20 1 P166 习题6.2 1(1)(5). 2(2). 3(1)(3). 4(4)(5). 5(1). 复习：P158—166 作业 预习：P168—174

第十六讲定积分(-) 、两个典型例孑 二、定积分的概念 三、可积性条件与可积类 四、定积分的基本性质 2021/2/20 2

2021/2/20 2 第十六讲 定积分（一） 二、定积分的概念 三、可积性条件与可积类 一、两个典型例子 四、定积分的基本性质

两个典型例子 「例1曲边形的面积向题 曲边梯形y=f(x) 2021220

2021/2/20 3 [例1] 曲边形的面积问题 a d x y o y = f (x)  i i x i−1 x 一、两个典型例子 曲边梯形

(1)细分: 在Ia,b区间任意插入分点 <x,<∴<x.,<X:<…<x=b 将|a,6分成n个子区间x1,x]k=1,2,…,n) 将曲边梯形分成个小曲边梯形 (2)取近似: 任取k∈xk1,x,记:xk=xk-xk-1 将第k个曲边梯形的面积用知形面积近似 AA4≈∫(5k)·Axk 2021/2/20

2021/2/20 4 [ , ] [ , ]( 1, 2, , ) 将 a b 分 成n个子区间 xk−1 xk k =  n a x x x x x b = 0  1  i−1  i  n = 1 1 [ , ], : 任 取 k  xk− xk 记 xk = xk − xk− (1) 细分: 在[a, b]区间任意插入分点: 将 第k个曲边梯形的面积用矩形面积近似 k k k  A  f ( ) x 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 (2) 取近似：

(3)求和: A=∑4A≈∑f(5)△xk k=1 k=1 (4)取极限: 分点越“密”∑∫(5)4xk越接近曲边梯形 的面积 无限细分,即=mx{4x}→0 1≤k≤n 如果极限mim∑f(5k)4xk存在 k=1 则im∑f(5k)4xk=A 2021/2/20 :

2021/2/20 5 (4) 取极限: , max  0 1 = →   k k n 无限细分 即  x 如果极限  存 在 = →  n k k xk f 1 0 lim ( )   的面积 分点越“密” 越接近曲边梯形 =  n k k xk f 1 , ( )  f x A n k  k  k = = → 1 0 lim ( )   则   = = =   n k k k n k k A A f x 1 1  ( )  (3)求和:

「例2]变速直线运动的路程问题 已知速度=v(t,求在时间间隔a,b内 所走过的路程 (1)细分:在,b区间任意插入分点 a=t00 k=1

2021/2/20 6 . ( ), [ , ] s v v t a b 所走过的路程 已知速度 = 求在时间间隔 内 a t t t t t b = 0  1  k−1  k  n = [例2] 变速直线运动的路程问题 s v( ) t (i 1, ,n)  k   k  k =    = = =   n k k k n k k s s v t 1 1  ( )  = → =  n k k k s v t 1 0 lim ( )   (1)细分： 在[a, b]区间任意插入分点: [ , ] [ , ]( 1, 2, , ) 将 a b 分 成n个子区间t k−1 t k k =  n (4) 取极限: (2)取近似： 任取 k [t k−1 , t k ] 以匀速近似变速 (3)求和：

二、定积分的概念 (一)黎曼积分定义: 设函数f:{a,b→R,对区间a,b 作任意划分即在[a,b中插入一组分点 a=x0<x1<…<xk-1<x<…<xn=b 记第k个小区间xk1,xk】(k=1,…,n)的 长度为4xk=xk-xk1;任取∈|xk=1,xk 构造和式:∑f()x,记=mx{4xk =1 2021/2/20

2021/2/20 7 二、定积分的概念 （一）黎曼积分定义： : ( ) , max , ; [ , ], [ , ] ( 1, , ) , [ , ] : :[ , ] , [ , ] 1 1 1 1 1 0 1 1 k k n n k k k k k k k k k k k k k n f x x x x x x x k x x k n a x x x x x b a b f a b R a b         = − − − − = = −  = =       = → 构造和式  记 长度为 任 取 记 第 个小区间 的 作任意划分 即 在 中插入一组分点 设函数 对区间   

如果和式极限imf(5k)4xk存在则 k=1 称∫在|a,b上可积记f∈Ra,b并且 称此极限值为f(x)在[a,b上的定积分 一积分上限 记作: ∫f(x)dx=mim∑f(5),△xk k=1 积分下限定积分是: a,b称为积分区间 积分和式的极限 [例1曲边梯形的面积A=f(x)d b [例21变速直线运动的路程s=|v(dt 2021/2/20

2021/2/20 8 ( ) [ , ] . [ , ] , [ , ]; lim ( ) , 1 0 称此极限值为 在 上的定积分 称 在 上可积 记 并 且 如果和式极限 存 在 则 f x a b f a b f R a b f x n k k k  = →    k n k k b a f x dx f  x  =    = → ( ) lim ( ) 1 0 记作: 积分上限 积分下限 [a, b] 称为积分区间 定积分是 : 积分和式的极限  = b a A f (x)dx  = b a s v(t)dt [例1]曲边梯形的面积 [例2]变速直线运动的路程

(二)定积分的几何意义 b (1)若f(x)≥0,则「f(x)dx=A,即 定积分表示曲边梯形!积 (2)若f(x)≤0,则「f(x)d=-A,即 定积分表示曲边梯形的面积的负值 14≈-(5),Au f(片 y=f(r) 2021/2/20

2021/2/20 9 定积分表示曲边梯形的面 积 (1)若f (x) 0,则 f (x)dx A, 即 b a  =  定积分表示曲边梯形的面积的负值 (2)若f (x) 0,则 f (x)dx A, 即 b a  = −  （二）定积分的几何意义 x y a xi−1  i xi b ( ) i f  y = f (x) o i i i A  − f ( )x

「例证明f(x)=C在[a,b上可积 证!任给{a,b的一个划分{xkB 任取5k∈xk-1,xkl(k=1,…,m) →∑∫(5)4xk=∑C4xk k =1 ∑4xk=C(b-a) k=1 →Im∑∫(5)4xk=C(b-a k=1 b b 即f(x)dx=ca=C(b-a) 2021/2/20

2021/2/20 10 [例1] 证明f (x) = C在[a, b]上可积 [证]   [ , ] ( 1, , ) [ , ] 1 0 x x k n a b x k k k n k k  − =  = 任 取 任 给 的一个划分   = =  = n k k n k f k xk C x 1 1 ( )  ( ) 1 C x C b a n k =  k = − =  f (x)dx C dx C(b a) b a b a = = − 即   lim ( ) ( ) 1 0 f x C b a n k   k k = − = →   