清华大学：《微积分》课程教学资源_第十四讲 不定积分（二）

P137写题54 1(2)(6)(10).2(4)(13).3 P142习题55 1(3)(12).2(3).3(2).7(4).(10) 复习:P135-141 预习:P143155 2021/2/20

2021/2/20 1 作 业 P137 习题5.4 1(2)(6)(10). 2(4)(13). 3. P142 习题5.5 1(3)(12). 2(3). 3(2). 7(4). (10). 复习: P135—141 预习: P143—155

第十四讲不定积分(二) 变量代换法 二、分部积分法 2021/2/20 2

2021/2/20 2 第十四讲 不定积分（二） 一、变量代换法 二、分部积分法

变量代换法 凑微分法 fIo(x)].'(x)dx=f((x)dp(x) 难求! 容易求! 常常遇到相反的情况 令x=v() f(xdx=I fly(t].v'(t)dt 难求! 容易求 2021/2/20

2021/2/20 3 =  f (x)dx  =  f[(x)]  (x)dx 令 x =(t) 常常遇到相反的情况  f ((x))d(x) f[(t)](t)dt  一、变量代换法 凑微分法 难求 ！ 容易求 ！ 难求 ！ 容易求 ！

「例]求 1+√x 解令√x=t,分x=t2,于是 2t (1+t)-1 +√x 1+t 1+t 21f dte 1+t =2(-m1+t)+C 2021/2/20 =2(x-ln(1+√x)+C:

2021/2/20 4 dx x  1 + 1 [ 例 ] 求 令 x = t,  x = t 2 , 于 是 dt tt dx x   + = + 1 2 1 1 dt t t  + + − = 1 ( 1 ) 1 2 ] 1 1 2 [ dt t dt   + = − = 2 ( t − ln 1 + t ) + C [解 ] = 2 ( x − ln( 1 + x ) + C

定理2:(变量代换法) 若「fv()y()d=F()+C,且x=v() 有反函数t=v(x),则有 f(rdx= Fly (x)+C 证F-(x)+cl=,F(t) dF dt dx dx at dx dF 1 = d=∫ly(t)y'(t 2021/2/20

2021/2/20 5 有反函数 则 有 若 且 ( ), [ ( )] ( ) ( ) , ( ) 1 t x f t t dt F t C x t − =   = + =      f x dx = F x +C  − ( ) [ ( )] 1  定理2：（变量代换法） [证] dx dt dt dF F t dx d F x c dx d + = =  − [ ( ) ] ( ) 1  dt dx dt dF 1 =  ( ) ( ) 1 [ ( )] ( ) f x t f t t =  =      

「例山求f 2 解]令c-2=t2 2t 即x=ln(t2+2 t2+2 12t t=2 t tt2+2 +2 2· arctan+C √2 2 =√2 arctan 2021/2/20 2+C 6

2021/2/20 6  − = dx e I x 2 1 [例1] 求 [解] 2 e 2 t x 令 − = ln( 2), 2 即 x = t + dt t t dx 2 2 2 + =  + =  dt t t t I 2 1 2 2  + = dt t 2 1 2 2 C t =  + 2 arctan 2 1 2 C e x + − = 2 2 2 arctan

例2求I=「√4-x2x 元 解」令x=2sint( <t<) V4-x=2v1-sinft= 2 cos t=2 cost =2 cost dx=2 cos tdt 1+cos 2t cos tdt =4 2 2(t+-sin 2t)+C 2021/2/20

2021/2/20 7  I = − x dx 2 [例2] 求 4 [ 解 ] 令 x = 2sin t ) 2 2 (   −  t  t x t t t 2cos 4 2 1 sin 2 cos 2cos 2 2 2 = − = − = =  I = tdt 2 4 cos  + = dt t 2 1 cos 2 4 = t + sin2t) + C 21 2( dx = 2costdt

为了作变量回代将改写为 1=2(t+sint cost)+C 根据代换函数x=2sint,作一个 直角三角形 4 2 =2 arcsin-+√4-x2+C 2021/2/20 8

2021/2/20 8 为了作变量回代,将I改写为 I = 2(t + sint  cost) + C 直角三角形 根据代换函数x = 2sint, 作一个 x 2 2 4 − x t  I = − x dx 2 4 x C x x = +  − + 2 4 2 2 2arcsin

「例3求I= x2+9 解」令x=3tant x +9=3vtan t+1=3vsect=3sect d x= 3sec tdt 3sec t dt= sect dt x2+9 sect Insect +tan t+C 2021/2/20

2021/2/20 9  + = 9 [ 3 ] 2 x dx 例 求 I [ 解 ] 令 x = 3tan t x 9 3 tan t 1 3 sec t 3sec t 2 2 2 + = + = = = ln sec t + tan t + C    = = + dt t dt tt x dx sec 3sec 3sec 9 2 2 dx tdt 2 = 3sec

Ⅰ= In/sect+tant+C x+ sect= v+9 3 3 dx 2 9 x +-+c x2+9 3 3 x+√x2+9 n +C=Inlx+vx+9+c 3 2021/2/20

2021/2/20 10 x t 3 9 2 x + 3 9 sec 2 + = x t 1 2 2 3 3 9 ln 9 c x x x dx + + + = +   1 2 3 9 ln c x x + + + = = ln x + x + 9 + c 2 I = lnsect + tant +C