同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第十章 曲线积分（10.2）Green 公式（2/2）

Gren公式(2) 、曲线积分与路径无关的定义 如果在区域G内有 ∫,P+Qh Px+Q小y 则称曲线积分Px+Q小在G内与路径无关 否则与路径有关

如果在区域G内有  + L1 Pdx Qdy =  + L2 Pdx Qdy y o x G L1 L2 A   B 则称曲线积分 + L Pdx Qdy在G 内与路径无关, 否则与路径有关. Green 公式（2） 一、曲线积分与路径无关的定义

二、曲线积分与路径无关的条件 定理2设开区域G是一个单连通域,函数 P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分P+Q在G内与路径无关 (或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充 要条件是 aP 8Q a-aG内恒成立

二、曲线积分与路径无关的条件 设开区域G 是一个单连通域, 函 数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分 + L Pdx Qdy 在G 内与路径无关 （或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充 要条件是 x Q y P   =   在G 内恒成立. 定理2

有关定理的说明: (1)开区域G是一个单连通域 (2)函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连 续偏导数 两条件缺一不可 如「坳-yh 2 x t y 2,Q xt y r ty aP y yx+y2a在原点O(0)处不连续

有关定理的说明： (1) 开区域G是一个单连通域. (2) 函 数P(x, y), Q(x, y)在G 内具有一阶连 续偏导数. 两条件缺一不可 如  + − L x y xdy ydx 2 2 2 2 2 2 , x y x Q x y y P + = + = − x Q x y y x y P   = + − =   2 2 2 2 在原点 O(0,0) 处不连续

若L不经过也不包围原点,则L所围区域为单连通域 偏导数也连续 xdy- yde x2+p=0 若L包围原点在其内,偏导数不连续 则以原点为心,充分小的r为半径作一正向小圆周〃 在L和所围成的区域内,偏导数连续 但区域已不再是单连域 xdy-ydx 2=±2z其中正、负号取决于L的方向 x t y

若L 不经过也不包围原点，则L所围区域为单连通域 偏导数也连续  + − L x y xdy ydx 2 2 = 0 若L 包围原点在其内，偏导数不连续 则以原点为心，充分小的r 为半径作一正向小圆周  在L和  所围成的区域内，偏导数连续 但区域已不再是单连域  + − L x y xdy ydx 2 2 = 2 其中正、负号取决于L 的方向

三、二元函数的全微分求积 定理3设开区域G是一个单连通域,函数 P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导 数,则P(x,y)dx+Q(x,y)d在G内为某 函数u(x,y)的全微分的充要条件是等式 oP 00 在G内恒成立

三、二元函数的全微分求积 设开区域G 是一个单连通域, 函 数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导 数, 则P( x, y)dx + Q( x, y)dy在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式 x Q y P   =   在G内恒成立. 定理3

若 aP a0 B(x1,y1) ay ax C(x,, yo) 则 B(x1,y1) Pdx +ody A(xo,yo ∫"P(x,yn)d+∫(x,y)p 或=「Qx,y)+」P(x,n1)d

x Q y P      若 x y o ( , ) 0 0 • A x y ( , ) 1 1 • B x y ( , ) 1 0 • C x y  + ( , ) ( , ) 1 1 0 0 B x y A x y 则 Pdx Qdy P x y dx Q x y dy y y x x ( , ) ( , ) 1 0 1 0 =  0 +  1 Q x y dy P x y dx x x y y ( , ) ( , ) 1 0 1 0 或 =  0 +  1

例1计算∫(x2+2xy)dk+(x2+y)d·其中 L为由点O(0,0到点B(,1)的曲线弧y=ss T aP a 解 =(x+2xy)=2x (x2+y)=2x ax ax aP 80 → 原积分与路径无关 故原式=!x2+(+y)d 23 15

例 1 计算  + + + L (x 2xy)dx (x y )dy 2 2 4 . 其中 L 为由点O(0, 0)到点B(1, 1)的曲线弧 2 sin x y  = . 解 x xy x y y P ( 2 ) 2 2 + =   =   x y x x x Q ( ) 2 2 4 + =   =   x Q y P   =    ， 原积分与路径无关 故原式   = + + 1 0 1 0 2 4 x dx (1 y )dy . 15 23 =

例2设曲线积分∫2d+y(x)与路径无 L 关,其中具有连续的导数,且(0)=0 计算xy2dx+p(x) 0,0) R P(x, y)=xy, 2(x, y)= yop(x), aP a =(xy2)=2xy a00 ay a lyo(x)= yo(x), ax ax 积分与路径无关 aP 80 ay ax

例 2 设曲线积分 +  L xy dx y (x)dy 2 与路径无 关, 其中 具有连续的导数, 且(0) = 0 , 计算 +  (1,1) (0,0) 2 xy dx y (x)dy. 解 ( , ) , 2 P x y = xy Q(x, y) = y(x), ( ) 2 , 2 xy xy y y P =   =   [ y (x)] y (x), x x Q  =    =   积分与路径无关 x Q y P   =  

由p(x)=2xy→q(x)=x2+c 由φ(0)=0,知c=0→q(x)=x2 (1,1) 故「。x+p(x)d (0,0) a+y=1

由y(x) = 2xy   x = x + c 2 ( ) 由(0) = 0，知c = 0 2  (x) = x . 故  +  (1,1) (0,0) 2 xy dx y (x)dy   = + 1 0 1 0 0dx ydy . 2 1 =

四、小结 与路径无关的四个等价命题 条在单连通开区域D上P(x,y),Q(x,y)具有 件连续的一阶偏导数则以下四个命题成立 等()在D内P+Q小与路径无关 价(2)+Qb=0闭曲线CD /命3)在D内存在U(x,使d=P+Q 题(4在D内,P=0

四、小结 与路径无关的四个等价命题 条 件 在单连通开区域D上P(x, y), Q(x, y)具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. 等 价 命 题  + L (1) 在D内 Pdx Qdy与路径无关  + =  C (2) Pdx Qdy 0,闭曲线C D (3) 在D内存在U(x, y)使du = Pdx + Qdy x Q y P D   =   (4) 在 内