同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第十二章 全微分方程（12.1）一阶线性微分方程

一阶线性微分方程 、线性方程 阶线性微分方程的标准形式: +p(x)y=o() 当Q(x)≡0,上方程称为齐次的 当Q(x)年0,上方程称为非齐次的 例如中 = r sint+r,线性的; y′-2x=3,y-cosy=1,非线性的

一阶线性微分方程的标准形式: P(x) y Q(x) dx dy + = 当Q(x)  0, 上方程称为齐次的. 当Q(x)  0, 上方程称为非齐次的. 例如 , 2 y x dx dy = + sin , 2 x t t dt dx = + 线性的; yy − 2xy = 3, y − cos y = 1, 非线性的. 一阶线性微分方程 一、线性方程

阶线性微分方程的解法 1线性齐次方程+P(x=0. (使用分离变量法) dy =-P(x)x, ∫P(x)tx, lny=∫P(x)+mC, 齐次方程的通解为y=Ce P(x)dx

一阶线性微分方程的解法 1. 线性齐次方程 + P(x) y = 0. dx dy (使用分离变量法) P(x)dx, y dy = − ( ) ,   = − P x dx y dy ln y = − P(x)dx + lnC,  齐次方程的通解为 . ( )  = − P x dx y Ce

2线性非齐次方程+P(x)y=Q(x 讨论:中x) P(x)dx, 两边积分my=/9(s)-JP(x)dx 设∫c(x为yx,:my=x)-∫P(x 即y=e"(xle-P(x).非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比C→(x

2. 线性非齐次方程 P(x) y Q(x). dx dy + = 讨论 ( ) , ( ) P x dx y Q x y dy        = − 两边积分 ( ) , ( ) ln   = dx − P x dx y Q x y ( ), ( ) dx v x y Q x 设  为 ln ( ) ( ) ,   y = v x − P x dx . ( ) − ( ) = v x P x dx 即 y e e 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比 C  u(x)

常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质:未知函数的变量代换 新未知函数u(x)→原未知函数y(x), 作变换y=L(x)e P(x)dx y'=u(x)e P(x)de P(x)dx +u(xl -p(xle

常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u(x)  原未知函数 y(x), 作变换  = − P x dx y u x e ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] , ( ) ( )  + −   =  − P x d x P x d x y u x e u x P x e

将利代入原方程得n(x)ll=(x 积分得u(x)=Q(x) P(x)de dx+c 阶线性非齐次微分方程的通解为: P(x)dx P(x)dx y=[ 2()e dx +cle P(xdx P(x)dx P(xdx Ce +e o(xle 对应齐次 非齐次方程特解 方程通解

将y和y代入原方程得 ( ) ( ), ( ) u x e Q x P x dx =   − 积分得 ( ) ( ) , ( ) u x Q x e dx C P x d x +  =  一阶线性非齐次微分方程的通解为:  +  = −  P x d x P x d x y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] Ce e Q x e dx P x d x P x d x P x d x    +  =  − ( ) − ( ) ( ) ( ) 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解

非齐次线性方程的通解等于相应齐方程的通解 与非齐次方程的一个特解之和 即非齐通解=齐通解+非齐特解 —线性微分方程解的结构,是很优良的性质。 例1求方程y+y=x的通解 解P(x)=1,Qx)=Sx --[ sinx dx i +c

非齐次线性方程的通解 等于 相应齐方程的通解 与非齐次方程的一个特解之和 即 非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解 ——线性微分方程解的结构，是很优良的性质。 例1 . 1 sin 求方程 的通解 x x y x y + = 解 , 1 ( ) x P x = , sin ( ) x x Q x =         =   + −   e dx C x x y e d x x d x x 1 1 sin

sIn d edx+c C sin xdx+c)=cos x+c) 例2解方程 dy 2y (x+1) dx x+1 av J 解相应齐方程 dx x+1 解得y=c(x+1)2 y=c(x)(x+1

= ( xdx + C) x sin 1 ( cos ). 1 x C x = − +       =   + − e dx C x x e ln x sin ln x 解方程 2 5 ( 1) 1 2 = + + − x x y dx dy 解 相应齐方程 1 2 + = x y dx dy 解得 2 y = c(x + 1) 令 2 y = c(x)( x + 1) 例2

代入非齐方程 c'(x)(x+1)2+2c(x)(x+1) 1+I(x+1)2 2c(x)(x+1)2 →c'(x)=(x+1)2 解得c(x)=(x+1)2+c 3 故非齐次方程的通解为 y=(x+1)2(x+1)2+cl

代入非齐方程 ( )( 1) 2 ( )( 1) 2 c x x + + c x x + 2 5 2 ( 1) 1 1 2 ( )( 1) = + + − +  x x c x x 2 1  c(x) = (x + 1) 解得 c x = x + + c 2 3 ( 1) 3 2 ( ) 故非齐次方程的通解为 ( 1) ] 3 2 ( 1) [ 2 3 2 y = x + x + + c

例3解方程(1+x2)y+2xy=1 解这是一个二阶线性方程由于其中不含变量y 若令z=y→y= →(1+x2)z+2xz=1 化成一阶线性方程其通解为x= 1+x 2 x 即y= 1+x 2再积分 y=In(1+x)+c arctan x+C2 即为原二阶方程的通解

例3 解方程 (1 ) 2 1 2 + x y + xy = 解 这是一个二阶线性方程 由于其中不含变量 y 若令 z = y  y = z  (1 ) 2 1 2  + x z  + xz = 化成一阶线性方程 其通解为 2 1 1 x x c z + + = 即 2 1 1 x x c y + +  = 再积分 1 2 2 ln(1 ) arctan 2 1 y = + x + c x + c 即为原二阶方程的通解

例4如图所示,平行与y轴的动直线被曲 线y=f(x)与y=x(x≥0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积,求曲线f(x 解f(x)d=(x3-y)2, y=x Jo ydx=x3-y 两边求导得y+y=3x2, =f(x) 解此微分方程

例4 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . y y = f (x) ( 0) 3 y = x x  f (x) 解 ( ) ( ) , 3 2 0 f x dx x y x = −   = − x ydx x y 0 3 , x y o x P Q 3 y = x y = f (x) 两边求导得 3 , 2 y + y = x 解此微分方程