同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第十二章 全微分方程（12.7）一阶微分方程 习题课

一阶微分方程习题课

一阶微分方程 习题课

、主要内容 一阶方程 基本 高阶方程 可降阶方程 类型 二阶常系数线性 1.直接积分法 方程解的结构 2.可分高变量 3.齐次方程 特征方程法 线性方程 4.可化为齐次 解的结构 待特征方程的根 方程 定及其对应项 5.全微分方程系 定理1;定理2 6.线性方程 数 定理3;定理4 法f(x)的形式及其 特解形式 7.伯努利方程 欧批方程

一阶方程 基本概念 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程 7.伯努利方程 可降阶方程 线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4 欧拉方程 二阶常系数线性 方程解的结构 特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式 高阶方程 待 定 系 数 法 特征方程法 一、主要内容

主要内容 1、五种标准类型的一阶微分方程的解法 1)可分离变量的微分方程 形如g(y)=f(x)(分离变量法 解法∫8(y)d=∫/fx)k (2)齐次型方程形如 f∫( 解法作变量代换L

1、五种标准类型的一阶微分方程的解法 (1) 可分离变量的微分方程 形如 g( y)dy = f (x)dx 解法   g( y)dy = f (x)dx 分离变量法 (2) 齐次型方程 ( ) x y f dx dy 形如 = 解法 作变量代换 x y u = 一、主要内容

可化为齐次的方程 形如中 a+ by d°a1x+b1y+c1 解法令x=X+h 化为齐次方程 y=r+k, (其中h和k是待定的常数) (3)一阶线性微分方程 形如小 + p(x)y=e(x) 当Q(x)≡0,齐次 当Q(x)年0,非齐次

可化为齐次的方程 ( ) 1 1 1 a x b y c ax by c f dx dy + + + + 形如 = 解法 ， 令 y Y k x X h = + = + , 化为齐次方程． （其中h和k是待定的常数） (3) 一阶线性微分方程 P(x) y Q(x) dx dy 形如 + = 当Q(x)  0, 齐次． 当Q(x)  0, 非齐次

解法齐次方程的通解为 y=Cep(lde (使用分离变量法) 非齐次微分方程的通解为 P(x)dx P(x)dx y=2(x)e dx+cle (4)伯努利( Bernoulli)方程 (常数变易法) 形如如+P(x)y=g(x)y(m≠0,1 dx 当n=0,时,方程为线性微分方程 当n≠0,时,方程为非线性微分方程

解法 齐次方程的通解为 . ( )  = − P x dx y Ce （使用分离变量法） 非齐次微分方程的通解为  +  = −  P x dx P x dx y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] （常数变易法） (4) 伯努利(Bernoulli)方程 n P x y Q x y dx dy 形如 + ( ) = ( ) (n  0,1) 当n = 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n  0,1时， 方程为非线性微分方程

解法需经过变量代换化为线性微分方程 令 Z=y (l-n)P(x)dx (1-n)P(x)d Q(x)(1-n)e dx +c) (5)全微分方程 形如P(x,y)dx+Q(x,y)小y=0 其中d(x,y)=P(x,y)ax+Q(x,y)

解法 需经过变量代换化为线性微分方程． , 1 n z y − 令 = ( ( )(1 ) ). (1 ) ( ) (1 ) ( ) 1  +  −  = = − − − − e Q x n e dx c y z n P x d x n P x d x n (5) 全微分方程 形如 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 其中 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

注意:全微分方程 aP 80 ay ax 解法应用曲线积分与路径无关 n(x,y)=∫P(x,y)dx+∫g(x,y) So(x,y)dy+fP(,yodx, 通解为以(x,y)=C 用直接凑全微分的方法

注意： x Q y P   =   全微分方程  解法 应用曲线积分与路径无关.   = + y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 Q x y dy P x y0 dx x x y y  = + 通解为 u(x, y) = c . 用直接凑全微分的方法

可化为全微分方程 形如P(x,y)x+Q(x,y)dy=0 oP 00 非全微分方程(≠ 若p(x,y)≠0连续可微函数,且可使方程 p(x,y)P(x,y)x+p(x,y)Q(x,y)=0成为全 微分方程则称(x,y)为方程的积分因子

可化为全微分方程 形如 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ( ). x Q y P      非全微分方程 若( x, y)  0连续可微函数，且可使方程 (x, y)P(x, y)dx + (x, y)Q(x, y)dy = 0成为全 微分方程.则称(x, y)为方程的积分因子

公式法: 若 1aP 00 -ax)=f(x)则(x)=c 若 100 P )=g(y)则(y) g(y)dj p ax a 观察法: 熟记常见函数的全微分表达式,通过观察直接找出 积分因子 2。各类方程的内在联系

公式法: ( ) 1 x Q y P Q   −   若 = f (x) ( ) ; ( )  = f x dx 则  x e ( ) 1 y P x Q P   −   若 = g( y) ( ) . ( )  = g y dy 则  y e 观察法: 熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出 积分因子． 2。 各类方程的内在联系

P(x)dx 中y y=c(x) M(x)N(y) dh M 9()= +p(x)y=e(r) dx N d Pdx+ody=0 X=x+ Y=y+k Oy Ox P(x)d u=e +1N Z=y ax+by+c y'+P(x)y=o(x)y f( dx a,x+b,y+CI (1-n)P(x)a

x Q y P Pdx Qdy   =   + = 0 M(x)N( y) dx dy = ( ) 1 N y  = N M x y dx dy = ( ) = − x y u = xM + yN = 1  ( ) 1 1 1 a x b y c ax by c f dx dy + + + + = Y y k X x h = + = + P(x) y Q(x) dx dy + =  = − P x dx y c x e ( ) ( )  = P x dx e ( )  n y + P(x) y = Q(x) y n z y − = 1  = −n P x dx n e y 1 (1 ) ( ) 