同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第十二章 全微分方程（12.5）常系数微分方程组的解法

常系数线性微分 方程组的解法 微分方程组 微分方程组由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组 注意:这几个微分方程联立起来共同确定了几 个具有同一自变量的函数 常系数线性微分方程组微分方程组中的每一个 微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线 性微分方程组

常系数线性微分 方程组的解法 一、微分方程组 微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组． 注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几 个具有同一自变量的函数． 常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个 微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线 性微分方程组．

常系数线性微分方程组的解法 步骤: 1.从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数,得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程 2.解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数 3.把已求得的函数带入原方程组,一般说来, 不必经过积分就可求出其余的未知函数

步骤: １． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． 二、常系数线性微分方程组的解法 ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数．

=3y 2x,(1) 例1解微分方程组 dx 2y (2) 解设法消去未知函数J,由(2)式得 (3) 小1(d2z.dz 两边求导得, dx 2 dx dx 把(3),(4)代入(1)式并化简,得

例1 解微分方程组      = − = − 2 . (2) 3 2 , (1) y z dx dz y z dx dy 由(2)式得 (3) 2 1       = + z dx dz y 解 设法消去未知函数 y ， 两边求导得， , (4) 2 1 2 2         = + dx dz dx d z dx dy 把(3), (4)代入(1)式并化简, 得

2-+z=0 解之得通解z=(C1+C2x)e,(5) 再把(5代入(3)式,得y=(2C1+C2+2C2x)e2·(6) 原方程组的通解为 y=(2C1+C2+2C2x)e2 2 z=(C+c,x)

2 0 2 2 − + z = dx dz dx d z 解之得通解 ( ) , (5) 1 2 x z = C + C x e (2 2 ) . (6) 2 1 1 2 2 x 再把(5)代入(3)式, 得 y = C + C + C x e 原方程组的通解为 , ( ) (2 2 ) 2 1 1 2 1 2 2      = + = + + x x z C C x e y C C C x e

用D表示对自变量x求导的运算 例如,y+a1y+…+an1y'+any=∫(x) 用记号D可表示为 (D”+a1D″+…+an1D+an)y=∫(x) 注意: D2+a1Dn1+…+an1D+an是D的多项式 可进行相加和相乘的运算

用 D 表示对自变量 x 求导的运算 , dx d ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y a y a n y a n y f x n n + + + −  + = 例如， −  用记号 D 可表示为 ( ) ( ) 1 1 D a1D a n D a n y f x n n + + + − + = −  注意: n n n n D + a D + + a − D + a − 1 1 1  是 D 的多项式 可进行相加和相乘的运算．

例2解微分方程组d2m-x=c 2++y=0. dt 解用记号D表示,则方程组可记作 dt (D4-Dx+ Dy=e Dx+(D2+1)y=0 2 类似解代数方程组消去一个未知数消去x

例2 解微分方程组        + + = + − = 0. 2 2 2 2 y dt dx dt d y x e dt dy dt d x t 用记号D表示 dt d 解 ,则方程组可记作 类似解代数方程组消去一个未知数,消去 x    + + = − + = ( 1) 0 ( 1) 2 2 Dx D y D x Dy e t (１) (２)

(1)-(2)×D:-x-Dy=e, (3) (2)-(3)xD:(-D+D2+1)y=De'.(4) (-D+D2+1)y=e′ (5) 非齐线性方程 其特征方程为-r4+r2+1=0 解得特征根为 1+ /5 5-1 2 i=土 2 ,4=±i 2

(1) − (2) D : , 3 t − x − D y = e (３) (2) − (3) D : ( 1) . 4 2 t −D + D + y = De (４) t (−D + D + 1) y = e 4 2 即 (５) 非齐线性方程 其特征方程为 1 0 4 2 − r + r + = 解得特征根为 , 2 5 1 , 2 1 5 1,2 3,4 − =   =  + r =  =  r i

易求一个特解y=e,于是通解为 y=Cle+C2e+C3cosβt+C4sinβt+e.(6) 将(6)代入(3)得 Ge-oC2e-βC3cosβt+βC4sinβt-2e

易求一个特解 , t y = e  于是通解为 cos sin . 1 2 3 4 t t t y = C e + C e + C t + C t + e −  (６) 将(６)代入(３)得 cos sin 2 . 4 3 3 3 2 3 1 3 t t t x =  C e −  C e −  C t +  C t − e − 

∵方程组通解为 x=a ce aC2e-BC3cosβt +βC4sinβt-2e y=Ce+c2e +C3 cos pt+ C4 sin Bt +e 注意:在求得一个未知函数的通解以后,再求另 个未知函数的通解时,一般不再积分

 方程组通解为      = + +  +  + +   − =  −  −   −  −  t t t t t t y C e C e C t C t e C t e x C e C e C t cos sin sin 2 cos 1 2 3 4 4 3 3 3 2 3 1 3 注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另 一个未知函数的通解时，一般不再积分．

三、小结 1.注意徼分算子D的使用; 2.注意求出其中一个解,再求另一个解时 宜用代数法,不要用积分法.避免处理两 次积分后出现的任意常数间的关系

三、小结 ２．注意求出其中一个解，再求另一个解时 ，宜用代数法，不要用积分法．避免处理两 次积分后出现的任意常数间的关系． １．注意微分算子D的使用；