同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第十二章 全微分方程（12.10）微分方程的幂级数解法

微分方程的界级数解法 问题的提出 例如=x2+y2 解不能用初等函数或其积分式表达 寻求近似解法:幂级数解法; 雅卡比逐次逼近法; 数值解法

微分方程的幂级数解法 一、问题的提出 , 2 2 x y dx dy 例如 = + 解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 数值解法. 雅卡比逐次逼近法;

=f(x,y)特解求法 问题求=∫(xy)满足y=n的特解 其中f(x,y)=am+an(x-x)+an(y-yn) +…+alm(x-x0 )(y-y0) n 嗌熔创半时山爸士一的晝剩 y=yo+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ 其中a,a1,…,an,…为待定的系数

二、 f ( x, y ) 特解求法 dx dy = 问题 ( , ) . 求 f x y 满足 y 0 y0 的特解 dx dy = x= x = ( ) ( ) . ( , ) ( ) ( ) 0 0 00 10 0 01 0 l m l m a x x y y f x y a a x x a y y + + − − = + − + −  其中 , 假设所求特解可展开为 x − x0的幂级数 y = y0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + , , , , . 其中a1 a2  an 为待定的系数

例1求=x+y2满足y1l=0的特解 解xn=0 设y=a1x+a2x2+a3x3+…+anx"+…, y=a1+2a2x+303x2+…+nanx+ 将y,y的幂级数展开式带入原方程 a1+2a2x+33x2+44xC°+ =x+(1x+a2x2+a3x+a4x+

| 0 . 0 求 = x + y 2 满足y x= = 的特解 dx dy 解  x 0 = 0 ， 0 , y 0 = , 3 3 2 设 y = a1 x + a2 x + a x ++ an x n + 将 y, y的幂级数展开式带入原方程 a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 +4 2 4 3 3 2 1 2 = x + (a x + a x + a x + a x +) 2 3 , 2 1 3 1 y = a1 + a2 x + a x ++ nan xn− + 例 1

x+a12x2+2a1a2x+(a2+2013)x+ 比较恒等式两端x的同次幂的系数,得 a1=0, 3=0, 0 2 20 所求解为y2+ 小结:无初始条件求解 可设p=C+∑anx"(C是任意常数)

, , 20 1 , 0, 0, 2 1 0, a1 = a2 = a3 = a4 = a5 =  . 20 1 2 所求解为 y = 1 x 2 + x 5 + = x + a1 2 x 2 + 2a1 a2 x 3 + (a2 2 + 2a1 a3 )x 4 + 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得 小结: 无初始条件求解   = = + n 1 n 可设 y C an x (C是任意常数)

三、二阶齐次线性方程幂级数求法 定理如果方程y+P(x)y+Q(x)y=0中的系数 P(x)与Q(x)可在-R<x<R内展为x的幂级数, 那么在-R<x<R内原方程必有形如 y=∑ 的解

如果方程 y  + P( x) y + Q( x) y = 0中的系数 P(x)与Q(x)可在− R  x  R内展为x的幂级数, 那么在− R  x  R内原方程必有形如 n n n y a x  = = 0 的解. 定理 三、二阶齐次线性方程幂级数求法

作法设解为y=∑anx", 将P(x),Q(x),f(x)展开为x-x0的幂级数, 比较恒等式两端x的同次幂的系数,确定y 例2求方程y-x-y=0的解 解设方程的解为y=∑anx", 则y=∑

作法 , 0   = = n n 设解为 y a n x 将 P(x),Q(x), f (x) 展开为 x − x0 的幂级数， 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y. 求方程 y − xy − y = 0的解. , 0 n n y a n x  = 解 设方程的解为 = 例2 , 1 0 −  =  =  n n 则 y na n x

y"=∑m(n-1)anx"2=∑n+2)n+1)an12x", nE 将y,y3,y"带入y"-xy-y=0, ∑(n+2)(n+1)am+2x"-x∑mnx”∑anx=0, n=0 n=0 ∑(m+2)n+1an2-(n+1ankx"≡0, n+2 n=0,1,2, n+2

2 1 ( 1) −  =  =  − n n y n n an x 将 y, y , y 带入 y − xy − y = 0, ( 2)( 1) , 0 2 n n  n n a n x  = = + + + 0, 0 −  =  = n n a n x 1 0 −  = −  n n x nan x n n  n n an x  = + + + 0 2 ( 2)( 1) [( 2)( 1) ( 1) ] 0, 0  + + 2 − +   = + n n n n a n n a n x , 2 2 + + = n a a n n n = 0,1,2, 

2K 8 !2 3 15 2k+1 (2k+1)!! 原方程的通解 k=1,2,3, 2n 2n+1 ∑ a ∑ n=02m!=0(2n+1) (an,a是任意常数)

, 3 1 3 a a = , 15 1 5 a a =  , (2 1)!! 1 2 1 + + = k a a k k = 1,2,3,  , 2 0 2 a a = , 8 0 4 a a =  , ! 2 0 2k k k a a = 原方程的通解    =  + = + = + 0 2 1 1 0 2 0 2 ! n (2 1)!! n n n n n x a n x y a ( , ) a0 a1是任意常数

四、小结微分方程解题思路 作变换 分离变量法 非非 阶方程 全微分方程积分因子厂变全 量微 作降 可分 变阶 常数变易法 分方 换 离程 高阶方程 特征方程法 幂级数解法 待定系数法

四、小结 微分方程解题思路 一阶方程 高阶方程 分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法 待定系数法 非 全 微 分 方 程 非 变 量 可 分 离 幂级数解法 降 阶 作 变 换 作变换 积分因子

思考题 什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程?

思考题 什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？