同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第十二章 全微分方程（12.6）欧拉方程

欧拉方程 、欧拉方程 形如 x"y+p1xnym)+…+pn;xy'+pny=∫(x) 的方程(其中P1,P2Pn为常数)叫欧拉方程 特点:各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同 解法:欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变 量代换可化为常系数微分方程

欧 拉 方 程 一、欧拉方程 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y pn xy pn y f x n n n n + + + −  + = − −  的方程(其中 p1 p2  pn , 形如 为常数) 叫欧拉方程. 特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同． 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程

作变量变换x=e或t=Inx, 将自变量换为t dy dy dt 1 dj d x dt dx x dt d y d d_1/dy-3°m +2 小y dx x dt

作变量变换 x e t ln x, t = 或 = , 1 dt dy dx x dt dt dy dx dy = = , 1 2 2 2 2 2       = − dt dy dt d y dx x d y 将自变量换为 t, 3 2 , 1 2 2 3 3 3 3 3       = − + dt dy dt d y dt d y dx x d y 

用D表示对自变量t求导的运算 dt 上述结果可以写为 d=D 31,d2=(D2-D)=D(D-1), x y 3 十 (D-3D2+2Dy=DOD-1)(D-2)y

用 D 表示对自变量 t 求导的运算 , dt d 上述结果可以写为 xy = Dy, ( ) ( 1) , 2 2 2 2 D D y D D y dt dy dt d y x y  = − = − = − ( 3 2 ) ( 1)( 2) , 3 2 3 2 2 2 3 3 3 D D D y D D D y dt dy dt d y dt d y x y = − + = − −  = − + 

般地,x4y16)=D(D-1)…(D-k+1)y 将上式代入欧拉方程,则化为以t为自变量 的常系数线性微分方程求出这个方程的解后 把t换为lnx,即得到原方程的解. 例求欧拉方程 x3y"+x2y-4xy=3x2的通解 解作变量变换x=e或t=lnx

( 1) ( 1) . ( ) x y D D D k y k k = −  − + 将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量 的常系数线性微分方程. 求出这个方程的解后 ， 把 t 换为 ln x ，即得到原方程的解. 一般地， 例 求欧拉方程 3 2 2 x y + x y − 4xy = 3x 的通解． 解 作变量变换 x e t ln x, t = 或 =

原方程化为 D(D-1)(D-2)y+D(D-1)y-4Dy=3e2, 即Dy-2D2y-3Dy=3e2, 或 21+32=3e2. dt dt 方程(1)所对应的齐次方程为 2-+3=0 dt 其特征方程 2r2-3r=0

原方程化为 ( 1)( 2) ( 1) 4 3 , 2t D D − D − y + D D − y − Dy = e 即 2 3 3 , 3 2 2t D y − D y − Dy = e 或 2 3 3 . 2 2 2 3 3 t e dt dy dt d y dt d y − + = (1) 方程(1)所对应的齐次方程为 2 3 0, 2 2 3 3 − + = dt dy dt d y dt d y 其特征方程 2 3 0, 3 2 r − r − r =

特征方程的根为r=0,r2=-1,=3 所以齐次方程的通解为 Y=C +Cecet=ct2+C x3 设特解为y=be2=bx2 代入原方程,得b 2 2 所给欧拉方程的通解为y=C1+2+C

特征方程的根为 0, 1, 3. r1 = r2 = − r3 = 所以齐次方程的通解为 . 3 3 2 1 3 1 2 3 C x x C Y C C e C e C t t = + = + + − 设特解为 , 2 2 y be bx t = =  代入原方程，得 . 2 1 b = − 所给欧拉方程的通解为 . 2 3 1 2 3 2 1 C x x x C y = C + + − , 2 2 x y = − 即 

二、小结 欧拉方程解法思路 变系数的线变量代换 常系数的线 性微分方程 x=e或t=lnx 性微分方程 注意:欧拉方程的形式

二、小结 欧拉方程解法思路 变系数的线 性微分方程 常系数的线 性微分方程 变量代换 注意：欧拉方程的形式． x e t x t = 或 = ln