同济大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第十章 曲线积分（10.7）对坐标的曲面积分

对坐标的曲面积分 、基本概念 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧

对坐标的曲面积分 一、基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧

曲面的分类:1.双侧曲面;2单侧曲面 典型双侧曲面 2 口 2

n  曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典 型 双 侧 曲 面

典型单侧曲面:莫比乌斯带

典型单侧曲面: 莫比乌斯带

曲面法向量的指向决定曲面的侧 决定了侧的曲面称为有向曲面 曲面的投影问题:在有向曲面∑上取一小块 曲面△As在roy面上的投影(△S)为 (△G)当cosy>0时 xy (△S)y={-(△a)y当cosy<0时 当cosy=0时 其中(△σ)表示投影区域的面积 类似地可定义 AS在z及z0x面上的投影As)x和AS)x

曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: 在有向曲面Σ上取一小块 曲面 S, S在xoy面上的投影(S) xy为 . 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( )      = −      = 当 时 当 时 当 时      x y x y S x y 其中( ) 表示投影区域的面积.  xy 类似地可定义 S yx S zx S在yoz及zox面上的投影( ) 和( )

、概念的引入 实例:流向曲面一侧的流量 (1)流速场为常向量ν,有向平面区域A,求单位 时间流过A的流体的质量(假定密度为1) 流量 ①= Acos A

二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v  ,有向平面区域 A,求单位 时间流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1). A v   0 n  Av n v A Av      =  =   = 0 cos 流量

(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1 的速度场由 v(x,y, )=P(x, y, ) i+e(, y, j+r(x, y, zk 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x,y, ),2(, y,), R(,,z) 都在Σ上连续,求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量①

(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P( x, y,z), Q( x, y,z), R( x, y,z) 都在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量 . x y z o 

1.分割把曲面Σ分成n小块△1(△同时也代表 第小块曲面的面积), 在△S,上任取一点 z△S (5;,m5;), (,m,s;) 则该点流速为v 法向量为n

1. 分割 把曲面Σ分成n 小块 i s ( i s 同时也代表 第i小块曲面的面积), 在 i s 上任取一点 ( , , )  i i  i , x y z o  ni  ( , , ) i i i i    S i v  则该点流速为 . i v  法向量为 . ni 

=ν(5;,m,5;) =P(5,m7,5)+Q(5,,5;)j+R(5,1,5)k, 该点处曲面∑的单位法向量 n:=cos a, i+cos B:j+cos y k, 通过△s,流向指定侧的流量的近似值为 v2·n△S2(=1,2,…,n) 2求和通过Σ流向指定侧的流量@≈∑nAS

( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) P i Q j R k v v i i i i i i i i i i i i i                 = + + = 该点处曲面Σ的单位法向量 ni i i i j i k     cos cos  cos  0 = + + , 通过 i s 流向指定侧的流量的近似值为 v n S (i 1,2, ,n). i  i i =  2. 求和 通过Σ流向指定侧的流量 =     n i i ni Si v 1

∑P(5,m,41)c0sa1+Q(5,n,5)os月 +R(5;,7,5)c0sy;|S ∑|P(5,m,41)AS)+Q(,7,5)AS) +R(5;,,57)(△S) 3.取极限λ-0取极限得到流量Φ的精确值

i i i i i i i i i n i i i i i R S P Q +  =  + = ( , , )cos ] [ ( , , )cos ( , , )cos 1             i i i i x y yz i i i i x z n i i i i i R S P S Q S ( , , )( ) [ ( , , )( ) ( , , )( ) 1 +  =   +  =          3.取极限  → 0取极限得到流量的精确值

三、概念及性质 定义设Σ为光滑的有向曲面,函数在∑上有 界,把Σ分成n小曲面△S,(△S同时又表示第 i块小曲面的面积),△S在xoy面上的投影为 (△S)s,(5,7,5;)是AS上任意取定的一点,如 果当各小块曲面的直径的最大值元→0时, im∑R(5,m,4)△S)存在 则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面Σ上对 坐标x,y的曲面积分(也称第二类曲面积分)

三、概念及性质 定 义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有 界,把Σ分成n块小曲面Si(Si同时又表示第 i块小曲面的面积) ,Si在xoy面上的投影为 Si x y ( ) ,( , , )  i i  i 是Si上任意取定的一点,如 果当各小块曲面的直径的最大值 → 0时, = →  n i R i i i Si x y 1 0 lim ( , , )( )  存 在, 则称此极限为函数R(x, y,z)在有向曲面Σ上对 坐 标x, y的曲面积分(也 称第二类曲面积分)