清华大学：《微积分》课程教学资源_第十三讲 泰勒公式

作业:P112习题43 13(3).20(3) P121习题44 3(2)(5).4.5(2 P12综合题 10.12.15(2.17 复习:P113121 预习:P124133

2021/2/20 1 P112习题4.3 13(3). 20(3). P121习题4.4 3(2)(5). 4. 5(2). P122综合题 10. 12. 15(2). 17. 作业: 复习: P113—121 预习: P124—133

第十三讲泰勒公式 、函数逼近、泰勒多项式 二、带皮亚诺佘项的泰勒公式 带拉格朗日余项的泰勒公式 四、五个常用函数的泰勒公式 五、泰勒公式的应用 02122

2021/2/20 2 第十三讲 泰勒公式 二、带皮亚诺余项的泰勒公式 三、带拉格朗日余项的泰勒公式 四、五个常用函数的泰勒公式 一、函数逼近、泰勒多项式 五、泰勒公式的应用

函数逼近、泰勒多项式 (一)比较 f(x)=f(x0)+f"(4)(x-x0) f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+0(x-x0) (二)函数近似 用多项式逼近函数 逼近有两种看法 (1)在一点附近近似这个函数好 泰勒公式 (2)在区间上整体逼近得好。 傅立叶级数、正交多项式

2021/2/20 3 （二）函数近似 用多项式逼近函数. 逼近有两种看法： （1）在一点附近近似这个函数好； —— 泰勒公式 （2）在区间上整体逼近得好。 —— 傅立叶级数、正交多项式 ( ) ( ) ( )( ) 0 x x0 f x = f x + f   − ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 x0 x x0 o x x0 f x = f x + f  − + − （一） 比较 一、函数逼近、泰勒多项式

在讨论函数的微分时,已经得出 如果函数f在点x0可微,则当x→>x时, 有f(x)=f(x)+f(x0)(x-x0)+o(x-x0) 当x-x0<<1时,有一阶近似公式 f()af(o)+f(rox-xo 右端是(x-x0)的一次多项式 当x→x时,误差是o(x-x0) 2021/2/20

2021/2/20 4 ( ) ( ) ( )( ) ( ) , , 0 0 0 0 0 0 f x f x f x x x o x x f x x x = +  − + − → 有 如果函数 在 点 可 微 则 当 时 右端是(x − x0 )的一次多项式 , ( ) x → x0 x − x0 当 时 误差是  在讨论函数的微分时，已经得出: 1 , : 当x − x0   时 有一阶近似公式 ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x  f x + f  −

如何提高近似公式的精度? 希望找一个关子x-x0)的高次多项式 使它在x的附近可以近似表示(x) P(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-X 0)+…+an(x-x f(x)=P(x)+R2(x) f(x)≈P(x)误差:R(x) (1)怎样确定系数? (2)怎样确定误差? 2021∠∠U

2021/2/20 5 f (x) P (x) R (x) = n + n ( ). ( ) , 0 0 x f x x x 使它在 的附近可以近似表示 希望找一个关于 − 的高次多项式 f (x) P (x)  n 如何提高近似公式的精度 ？ : R (x) 误差 n n n n P (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − （1）怎样确定系数？ （2）怎样确定误差？

要求: P,(o=f(o) f(ro) P(x)=f(x0) P(xo)=f(xo)of xo 0 2021/2/20 6

2021/2/20 6 要求：( ) ( ) 0 0 P x f x n  =  ( ) ( ) 0 0 P x f x n  =  . . . . . . . . . ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) P x f x n n n = x y 0 o x y = f (x) ( ) 0 f x • ( ) ( ) 0 0 P x f x n =

P(x)=an+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0) P(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan(x-x0)1 Pvx)=2a2+3·a3(x-x0)…+n(n-1)an(x-x0)”2 )(x)=n(n-1)(n-2)…21an P 代入上述条件得到 o=f(x0),a1=f(x0),2a2=f(x) nla=f(xo) 2021/2/20

2021/2/20 7 n n n P (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 1 1 2 0 0 ( ) 2 ( ) ( ) −  = + − + + − n Pn x a a x x  nan x x 2 2 3 0 0 ( ) 2 3 2 ( ) ( 1) ( ) −  = +  − + − − n n n P x a a x x  n n a x x n n Pn (x) n(n 1)(n 2) 2 1a ( ) = − −   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 代入上述条件得到 ( ), 0 0 a = f x ( ), 1 x0 a = f  2 ( ), 2 0 a = f  x . . . ! ( ) 0 ( ) n a f x n n =

即an=f(xn),a1=f(x0) f"(x0) f(ro) 2! 于是 P(x)=f(x0)+f(x1)x-x)+ f"(x0) X- 2! ∴十 (x-x0)” n! f(x)在x点的阶泰勒多项式 2021/2/20 8

2021/2/20 8 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) !( ) ( ) 2!( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 + + − −  = +  − +  即 ( ), 0 0 a = f x ( ), 1 x0 a = f  , 2!( ) 0 2 f x a  = . . . !( ) , 0 ( )n f x a n n = 于是 f ( x ) 在x 0 点 的 n阶泰勒多项式

二、带皮亚诺佘项的泰勒公式 定理1:若函数∫在点x有n阶导数则 当x→x时,有 f(x)=f(x)+f(x0)(x-x0)+ f"(x0) 2! n n Totol(r-x 其中。(x-x0)”]=Rn(x)(x→x) (皮亚诺余项 2021/220

2021/2/20 9 当 时 有 若函数 在 点 有 阶导数 则 , , 0 0 x x f x n → ( ) [( ) ] ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 n n n x x o x x n f x x x f x f x f x f x x x + + − + − −  = +  − +  , [( ) ] ( ) ( ) x x0 Rn x x x0 其 中  − n = → (皮亚诺余项) 二、带皮亚诺余项的泰勒公式 定理1:

当xn=0时,有 f(x)=f(0)+f(0)x(0)2x 2 m(0) n x+olx ")(x→>0) n阶麦克劳林公式 2021/2/20

2021/2/20 10 当x0 = 0时,有 n阶麦克劳林公式 ( ) ( 0) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 + + → +  = +  + x x x n f x f f x f f x n n n  