清华大学：《微积分》课程教学资源_第八讲 微分中值定理

作业 P88习题4.1 5(1).7.8(2)(4).9(1).10(3) P122综合题 4.5 复习:P8088 预习:P8995 2021-2-20

2021-2-20 1 作业 P88 习题4.1 5(1). 7. 8(2)(4). 9(1). 10(3). P122 综合题: 4. 5. 复习：P80——88 预习：P89——95

应用导数研究函数性恋 局部性态一未定型极限 函数的局部近似 整体性态一在某个区间上 函数的单调性、函数的极值 函数的凸性、渐近性、图形 2021-2-20

2021-2-20 2 应用导数研究函数性态 局部性态— 未定型极限 函数的局部近似 整体性态— 在某个区间上 函数的单调性、函数的极值 函数的凸性、渐近性、图形

微分中值定理,包括 罗尔定理、执格朗中值定理 柯西中值定理、泰勒中值定理 微分中值定理的共同特点是: 在一定的条件下,可以断定在所给区间 内至少有一点,使所研究的函数在该点具有 某种微分性质。 微分中值定理是微分学的理论基础。是 利用导数研究函数性质的理论依据

2021-2-20 3 微分中值定理，包括： 罗尔定理、拉格朗中值定理、 柯西中值定理、泰勒中值定理 微分中值定理是微分学的理论基础。是 利用导数研究函数性质的理论依据。 微分中值定理的共同特点是： 在一定的条件下，可以断定在所给区间 内至少有一点，使所研究的函数在该点具有 某种微分性质

蕈八讲微分中值定理 费尔马( fermat)定理 罗尔(Roe)定理 三、拉格朗日( Lagrange)定理 四、柯西( Cauchy)定理 2021-2-20

2021-2-20 4 第八讲 微分中值定理 一 、费尔马 ( Fermat )定理 二、罗尔 ( Rolle )定理 三、拉格朗日(Lagrange )定理 四、柯西 (Cauchy )定理

、费尔马( Fermat)定理 (一)极值的定义: 设函数f(x)在点x0的某邻域N(x0)有 定义若Vx∈N(x0),有 f(x)≤f(x)(或f(x)≥f(x) 则称函数∫在x取得极大值(或极小值) 并称x为f的极大值点(或极小值点 2021-2-20

2021-2-20 5 ( ). ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) . ( ), ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 并称 为 的极大值点 或极小值点 则称函数 在 取得极大值 或极小值 或 定义 若 有 设函数 在点 的某邻域 有 x f f x f x f x f x f x x N x f x x N x     一 、费尔马 ( Fermat )定理 （一）极值的定义：

y=f(r) f(x)极小值 f(x)极大值 x0(极大值点) x1(极小值点) 极值的研究是微积分产生的主要动力之 2021-220

2021-2-20 6 x 0 x1 x y o y  f (x) f (x0 )极大值 f (x1 )极小值 (极大值点) (极小值点 ) 极值的研究是微积分产生的主要动力之一

(二)费尔马定理(极值些墨条件) 设函数f(x)在点x0取得极值,并且 f(x)在点x可导,则必有 f'(x0)=0 注意1f(x0)=0是可导函数取得极值的 必要条件 注意2满足f(x0)=0的点x不一定是 函数f的一个极值点这种点称为 驻点 2021-2-20

2021-2-20 7 ( ) 0 ( ) , ( ) , 0 0 0 f  x  f x x f x x 在点 可导 则必有 设函数 在点 取得极值 并且 （二）费尔马定理 (极值必要条件) . . [ 2] ( 0 ) 0 0 驻点 函数 的一个极值点 这种点称为 注意 满足 的点 不一定是 f f  x  x . [ 1] ( 0 ) 0 必要条件 注意 f  x  是可导函数取得极值的

3 √′=3 y(0)=0 x=0不是极值点 驻点未必是极值点! 2021-2-20

2021-2-20 8 x y o 3 y  x (0) 0 3 2     y y x x  0不是极值点 驻点未必是极值点！

证(只须证明:f(x)≤0且∫(xn)≥0 不妨设f(x)在点x处取得极大值 即在点x0的邻域(x0-δ,x+8)内有 f(x)≤f(x0) 考察(X0)f(x)-f(xn) △x x- f(x)-∫(x0) x→ 0 2021-2-20

2021-2-20 9 [证] ( : ( ) 0 ( ) 0) 只须证明 f  x0  且 f  x0  ( ) . 不妨设f x 在点x0处取得极大值 ( ) ( ) 0 f x  f x 即 在点x0的邻域 ( x0   , x0   )内,有 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x x f x f x x f x      考察 0 ( ) ( ) 0 0 0      x x f x f x x x 0 ( ) ( ) 0 0 0      x x f x f x x x

因为f(x0)存在,所以f(x0)和f(x) 都存在,并且有 f(o=f(ro=li f(x)-f(x0) ≥0 x→>x0 - f(o=f(o)=lim 0 x→X 0 f'(x0)=0 2021-2-20

2021-2-20 10 都存在 并且有 因为 存在 所以 和 , ( ) , ( ) ( ) 0 0 x0 f x f x f      0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0           x x f x f x f x f x x x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0           x x f x f x f x f x x x ( ) 0  f  x0 