清华大学：《微积分》课程教学资源_第二十一讲 简单常微分方程（一）

诈业 P227习题81 1(2)(4)(6)(8).4 P236习题8.2 1(2)(4)(6) 02122

2021/2/20 1 作业 P227 习题 8.1 1(2)(4)(6)(8). 4. P236 习题 8.2 1(2)(4)(6)

第二十一讲 简单常微分方程() 微分方程的基本概念 二、一阶常微分方程 02122

2021/2/20 2 第二十一讲 简单常微分方程(一) 一、微分方程的基本概念 二、一阶常微分方程

微分方程的基本概念 十七世纪末,力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中,函数关 系不能直接写出来,而要根据具体问 题的条件和某些物理定律,首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式,即微分方程,然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。 2021/2/20

2021/2/20 3 十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。 一、微分方程的基本概念

「例一个质量为n的小球系在线的一端 线的另一端系在墙上线的长度等将 小球拉开一个小角度松手使小球摆动 求小球的运动规律 解设小球线速度为(.「 切向分力:F= mg sin0 阻力:F2= 切向分力 2021/2/20 重力

2021/2/20 4 . , . , . [ 1] , , 求小球的运动规律 小球拉开一个小角度松手使小球摆动 线的另一端系在墙上线的长度等于 将 例 一个质量为 的小球 系在线的一端 l m o • • 重力 切向分力 • [解] v(t).   设小球线速度为 切向分力:F1 = mg sin F =  v 2 阻力:

根据牛顿第二定律得到 de m,=-v- mg sin注意到v)= dt 从而有 d, g tsing=o dt m dt 当θ<<1时,sin≈,所以有 d0 ud6 微分方程 十 +S=0 dt l 定解问 初始条件 d 6() t=0 6 61题 定解条件 t=0

2021/2/20 5 根据牛顿第二定律,得到  v mg sin dt dv m = − − d t d v t l  注意到 ( ) = 从而有 sin 0 2 2 + +  =    l g dt d dt m d 当  1时,sin  ,所以有 0 2 2 + +  =    l g dt d dt m d ( ) , 0 0  =  t= t 1 0   = t= dt d 微分方程 初始条件 定解条件 定 解 问 题

定义1:含有未知函数的导数的方程 称为微分方程 未知函数是一元函数含有未知函数的导数 的微分方程称为常微分方程 例如 d2 ue de g de +Sb=0 m at 未知函数是多元函数含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程 2021/2/20

2021/2/20 6 定义1: 含有未知函数的导数的方程 称为微分方程. 未知函数是一元函数,含有未知函数的导数 的微分方程称为常微分方程. 未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程. 0 2 2 + +  =    l g dt d dt m 例如 d

定义2:(微分方程的阶) 未知函数的导数的最高阶数称为 微分方程的阶 例如 d26dO+旦=0二阶 n at n阶微分方程的一般形式 F(x, y, d小y 4少) 0(1) d 2021/2/20

2021/2/20 7 n阶微分方程的一般形式 ( , , , , ) = 0 (1) n n dx d y dx dy F x y  例如 0 2 2 + +  =    l g dt d dt m d 二阶 未知函数的导数的最高阶数称为 微分方程的阶. 定义2: ( 微分方程的阶 )

定义3:(线性与非线性) 未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分 方程称为线性微分方程 n阶线性常微分方程的般形式 y ao(x)-n+a,(x) 十 dx dx +am(x)+a(x)y=f(x) 不是线性方程的称法性微分方程 例如 2√y是一阶非线性微分方程 2021/2/20

2021/2/20 8 n阶线性常微分方程的一般形式 + − + − 1 1 0 1 ( ) ( ) n n n n dx d y a x dx d y a x ( ) ( ) ( ) 1 a x y f x dx dy + an− x + n = 未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分 方程称为线性微分方程. 定义3: ( 线性与非线性) 不是线性方程的称为 例 如 y是一阶非线性微分方程 dx dy = 2 非线性微分方程

定义4:(微分方程的解) 如果把函数y=y(x)代入方程1 使方程成为恒等式则称函数y=y(x) 是微分方程1)的一个解 微分方程的通解: n阶常微分方程1)的包含n个独立的 任意常数的解y=f(xC1;…Cn) 称为微分方程的通解. 2021/2/20

2021/2/20 9 任意常数的解 n阶常微分方程(1)的包含n个独立的 ( , , , ) C1 Cn y = f x  (1) . , ( ) ( ) (1) 是微分方程 的一个解 使方程成为恒等式则称函数 如果把函数 代入方程 后 y y x y y x = = 定义4: ( 微分方程的解) 称为微分方程的通解. 微分方程的通解：

例如:一阶微分方程 +ku= a 函数() +e是一个解 k 对于任意常数C,单参数函数族 u(t) +ce-kt 是微分方程的通解 (∵+Mu=-Cke+A+Ckeh≡A) dt 2021/2/20

2021/2/20 10 ku A dt du 例 如: 一阶微分方程 + = 函 数 e k t是一个解 k A u t − ( ) = + 对于任意常数C,单参数函数族 k t e k A u t − ( ) = + C 是微分方程的通解 ( ku Cke A Cke A) dt du k t k t + = − + +  − − 