清华大学：《微积分》课程教学资源_小结（1/2）

微积分(-)小结 函数 1定义 设X,YcR为非空集如果按照某种 确定的法则,∨x∈X,3!y∈Y与其对 映,记作y=f(x),则称为定义在X 上的函数 2021/2/20

2021/2/20 1 微积分（一）小结 一 .函数 1.定义 . ( ), , , ! , , 上的函数 映，记作 则 称 为定义在 确定的法则 与其对 设 为非空集 如果按照某种 y f x f X f x X y Y X Y R =     

函数的两个要素: 定义域D,对映法则 2函数的初等性质 (1)有界性 (2)单调性 (3)奇偶性 (4)周期性 2021/2/20 2

2021/2/20 2 （ 1）有界性 2.函数的初等性质 （3）奇偶性 （4）周期性 定义域D ,对映法则f . 函数的两个要素： （ 2）单调性

要求 1要熟练掌握基本初等函数的定义 域、值域及图形; 2利用给定条件或问题,找出函数关系 及定义域; 3利用函数符号描述有关函数的性质; 4会分析复合函数中变量的关系,会 求给定函数的反函数 2021/220

2021/2/20 3 4.会分析复合函数中变量的关系，会 求给定函数的反函数。 3.利用函数符号描述有关函数的性质； 要求 1.要熟练掌握基本初等函数的定义 域、值域及图形； 2.利用给定条件或问题，找出函数关系 及定义域；

二、函数的极限 1极限的定义 设函数f(x)在点x的某空心邻域 有定义如果当无限趋于时,其对 应的函数们(x无限趋于”一个確 的常数4,则称4是当x趋于x时,函数 f(x)的极限,记作limf(x)=A x->x0 或∫(x)→A(x→>x) 2021/2/20

2021/2/20 4 f ( x ) , A A x x , f ( x ) . x x f ( x ) x 的极限 的常数 ，则称 是 当 趋 于 时 函 数 应的函数值 “无限趋于”一个确定 有定义 如果当“无限趋于”时，其对 设函数 在 点 的某空心邻域 0 0 0 lim f( x ) A x x = → 0 记作 1.极限的定义 f( x ) A ( x x ) 或 → → 0 二、函数的极限

2极限的性质 (1)唯一性:若limf(x)存在,则极限唯 (2)有界性:若mf(x)=A,则f(x) 0 在x的某邻域中有界 (3)保号性:若imf(x)=A>0,则f(x) x→>x0 在x的某邻域中必恒为正, 若f(x)≥0,且imf(x)存在, o 则limf(x)≥0 x→>x0 2021/2/20

2021/2/20 5 2.极限的性质 （1）唯一性: 若 lim ( )存在，则极限唯一。 0 f x x→x （2）有界性: 在 的某邻域中有界。 若 ， 则 0 lim ( ) ( ) 0 x f x A f x x x = → （3）保号性: lim ( ) 0. ( ) 0, lim ( ) , lim ( ) 0 ( ) 0 0 0 0   =  → → → f x f x f x x f x A f x x x x x x x 则 若 且 存 在 在 的某邻域中必恒为正， 若 ， 则

3极限的运算法则 (1)四则运算法则 (2)复合函数的极限法则 (3)夹逼定理 4无穷小量的比较 设a(x)及(x)是x→x0时的两个 无穷小量 (1)若lim acx) 1,则称a(x) →x0B(x) 与B(x)是等价无穷小量 2021/2/20

2021/2/20 6 3.极限的运算法则 （1）四则运算法则 （2）复合函数的极限法则 4.无穷小量的比较 ( ) . 1 ( ) ( ) ( ) 1 lim 0 与 是等价无穷小量 （ ） 若 ，则称 x x x x x x     = → , ( ) ( ) 0 无穷小量 设 x 及 x 是x → x 时的两个 （3）夹逼定理

(2)若ima(x)=0,则称a(x) x→>x0 B(x 是B(x)高阶无穷小量 注意]并非所有无穷小量都可以进行比较 例如 lim x sin=0, 而lim lim sin 不存在 x→>0 x→>0 2021/2/20

2021/2/20 7 ( ) . 0 ( ) ( ) ( ) 2 lim 0 是 的高阶无穷小量 （ ） 若 ，则称 x x x x x x     = → [注意] 并非所有无穷小量都可以进行比较 例如 0, 1 lim sin 0 = → x x x 而 x x x x x x 1 lim sin 1 sin lim →0 →0 = 不存在

搞清以下关系 (1 lim f(x)=A x→C0 f(x)=A+alx), lim a()=0. x→>x0 (2)lim a()=0<> lim 。。 x→X0 x→x0a(x) ()a(x)B(x)a(x)-B(x) o((x)或O(a(x)) (4)无穷大量与无界函数的关系 2021/2/20

2021/2/20 8 搞清以下关系 ( ) ( ), lim ( ) 0. 1 lim ( ) 0 0 = + = =  → → f x A x x f x A x x x x   （ ） . ( ) 1 (2) lim ( ) 0 lim 0 0 =  =  → → x x x x x x   （4）无穷大量与无界函数的关系. ( ( )) ( ( )). (3) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) x x x x x x         = 或  −

6求未定型极限的方法 (1)利用基本公式 D lim(1+-) 2)lim(1+x)* 9 x→>0 3)lim SIn tan x 4)lim 0 x→>0 5)lim arcsin x =1,6lm arctan x →>0 In (1+x) d ⑦)lim 1,8)im x→>0 x→>0x 2021/2/20

2021/2/20 9 6.求未定型极限的方法 (1)利用基本公式: ) , 1 1 lim(1 e x x x + = → ） 2 lim(1 ) , 1 0 x e x x + = → ） ） 1， sin 3 lim 0 = → x x x ） 1， tan 4 lim 0 = → x x x ） 1， arcsin 5 lim 0 = → x x x ） 1， arctan 6 lim 0 = → x x x ） 1， ln(1 ) 7 lim 0 = + → x x x ） 1， 1 8 lim 0 = − → x e x x

1-cos x lim →01 l+x-1 10 lim 1: x→01 2 (2)利用等价无穷小替换; (3)利用罗必达法则 (4)利用夹逼定理; (5利用泰勒公式 2021/2/20

2021/2/20 10 ） 1 ， 21 1 cos 9 lim 2 0 = − → x x x 1 ; 21 1 1 10 lim0 = + − → xx x ） (2)利用等价无穷小替换； (3)利用罗必达法则； (4)利用夹逼定理； (5)利用泰勒公式