清华大学：《微积分》课程教学资源_第二十讲 常微分方程（ニ）

作业 P236习题82 9.11.13.25.26.28 35.39.41.47 2021/2/20

2021/2/20 1 作业 P236 习题8.2 9.11.13.25.26.28. 35.39.41.47

第二十二讲 常微分方程(=) 一阶绲性方程 二、伯努利( Bernoul1)方程 三、可利用微分形式求解的方程 积分因子 2021/2/20 2

2021/2/20 2 第二十二讲 常微分方程（二） 一、一阶线性方程 三、可利用微分形式求解的方程 二、伯努利(Bernoulli)方程 四、积分因子

阶线性微分方程 n阶线性微分方程 y+a1(x)y")+…+an1(x)y +an(x)y=f(x)(1) 非齐次 y"+a1(x)y+…+an1(x)y +an(x)y=0(2) 齐次 2021/2/20

2021/2/20 3 ( ) ( ) (1) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) a x y f x y a x y a x y n n n n + = + + +  − −  n阶线性微分方程 ( ) 0 (2) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) + = + + +  − − a x y y a x y a x y n n n n  非齐次 齐次 一、 一阶线性微分方程

(一)线性方程的性质 性质1:线性齐次方程2)必有零解 性质2:若y=y(x)是线性齐次方程2)的解则 y=Cy(x)亦是(2)的解(C为任意常数 性质3:如果y(x)与y2(x)是线性齐次方2) 的解,则它们的任意线性组合 y=C1y1(x)+C22(x) 都是方程(2)的解其中C1,C2为任意常数 2021/2/20

2021/2/20 4 ( 一 )线性方程的性质 的 解 则它们的任意线性组合 如 果 与 是线性齐次方程 , ( ) ( ) (2) y1 x y2 x (2) , , . 都是方程 的 解 其 中C1 C2 为任意常数 ( ) ( ) y = C1 y1 x + C2 y2 x 性质 1 ： 线性齐次方程( 2 )必有零解。 性质 2 ： 亦 是 的 解 为任意常数 。 若 是线性齐次方程 的 解 则 ( ) (2) ( ) ( ) ( 2 ) , y Cy x C y y x = = 性质 3 ：

性质4: 如果y(x),y2(x)是非齐次方程1)的解, 则y(x)-y2(x)是齐次方程(2)的解 性质5: 如果p(x)是非齐次方程1的一个解, y(x)是齐次方程2)的一个解则 y(x)+y(x)是非齐次方1解 2021/2/20

2021/2/20 5 ( ) ( ) (2) . ( ), ( ) (1) , 1 2 1 2 则 是齐次方程 的 解 如 果 是非齐次方程 的 解 y x y x y x y x − ( ) ( ) (1) . ( ) (2) , ( ) (1) * * 是非齐次方程 的 解 是齐次方程 的一个解 则 如 果 是非齐次方程 的一个解， y x y x y x y x + 性质 4 ： 性质 5 ：

阶线性微分方程 )+b(x)y+c(x)=0 标准形式: d 非d +p(x)y=q(x)齐 齐 dx +(x)y=0次 次dx (1)如何解齐次方程? dy dx +p(x)y=0什麽类型? 2021/2/20

2021/2/20 6 ( ) + b(x) y + c(x) = 0 dx dy a x + p(x) y = 0 dx dy p(x) y q(x) dx dy + = (1) 如何解齐次方程？ 非 齐 次 齐 次 + p(x) y = 0 可分离型！ dx dy 标准形式： 什麽类型？ 一阶线性微分方程

分离变量 -p(xdx p()dx 解得y=Ce 齐次通解 注意: 是p(x)一个原函数 不是不定积分! 齐次通解的结构: 设y(x)是y+p(x)y=0的一个非 零解,则通解卩=C1(x) 2021/2/20

2021/2/20 7 分离变量 p x dx y dy = − ( )  = − p x dx y ce ( ) 是p(x)一个原函数 不是不定积分！ 解得 齐次通解 注意： 齐次通解的结构： , ( ) ( ) ' ( ) 0 1 1 y Cy x y x y p x y = + = 零 解 则通解 设 是 的一个非

(2)用常数变异法解非齐次方程 +p(x)y=q(x)() dy 对应于(1)的 +p(x)y=0 (2) 齐次方程 (2)的通解为=CJm(x)((x) 假定(1)的解具有形式 y=C(xv(x 将这个解代入(1),经计算得到 2021/2/20

2021/2/20 8 p(x) y q(x) (1) dx dy + = (2)用常数变异法解非齐次方程 假定(1)的解具有形式 ( ) ( ) y = C x y1 x 将这个解代入(1) , 经计算得到 + p(x) y = 0 (2) dx dy 齐次方程 对应于(1)的 (2) ( ) 1 ( ) y Ce Cy x p x d x =  = − 的通解为

C(x)y1(x)+C(x)1(x) +p(ac(r)y(x)=q(x) y(x)是Q的解, C(x)y,(x)+p(x)c(x)y(r)=0 化简得到C(x)(x)=q(x) 即 C(x)=g(xeJp()de 2021/2/20

2021/2/20 9  y1 ( x ) 是 （2）的解， ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) 0  C x y1 x + p x C x y1 x = ( ) ( ) ( ) '( ) 1 1 C  x y x + C x y x ( ) ( ) ( ) ( ) + p x C x y1 x = q x 化简得到 ( ) ( ) ( ) 1 C  x y x = q x   = p x dx C x q x e ( ) 即 ( ) ( )

积分C(x)=a(x)e p(x)dx +c 从而得到非齐次方程(1)的通解 p(x)dx (C+q(x)ed 非齐次通解 或 p(x)dx x p(x)dx (C+ g(x) x 2021/2/20

2021/2/20 10 积分 C x q x e C p x d x +  =  ( ) ( ) ( ) 从而得到非齐次方程(1)的通解 ( ( ) ) ( ) ( )   +  = − y e C q x e dx p x d x p x d x 非齐次通解 ( ( ) ) 0 0 0 ( ) ( )   +  = − x x p x d x p x d x y e C q x e dx x x x 或 x