清华大学：《微积分》课程教学资源_第九讲 洛必达法则

作业 P95习题4.2 7(4)(5)(6)(10)(11)(12) 8(2)(4)(5)(8)(11)(12).9错 预习:P96111 2021/2/20

2021/2/20 1 P95 习题4.2 7(4) (5) (6) (10) (11) (12). 8(2) (4) (5) (8) (11) (12). 9(错) . 作业 预习: P96—111

第九讲洛必达法则 未定型极限 66 0—0 型未定式的 洛必达法则 o09 剋未定式的 ● 洛必达法则 四、其它未定型极限 2021/2/20 2

2021/2/20 2 第九讲 洛必达法则 一、未定型极限 二、 型未定式的 洛必达法则 “ ” 0 0 三、 型未定式的 洛必达法则 “ ”   四、其它未定型极限

、未定型极限 回忆极限的四则运算法则 如果皿m∫(x)=A,limg(x)=B且B≠0 则 lim ()A g(x) B 如果B=0.,A≠0则m(x)不存在 g() 如果B=A=0四则运算法则不能用 2021/2/20

2021/2/20 3 回忆极限的四则运算法则: 如果 lim f (x) = A, lim g(x) = B 且 B  0 B A g x f x = ( ) ( ) 则 lim 如 果 则 不存在 ( ) ( ) 0, 0, lim g x f x B = A  如果B = A= 0 四则运算法则不能用！ 一、未定型极限

(1)如果limf(x)=0,img(x)=0 im(x)称为未定型极限“”型 x→g(x) 0 (2)如果lim∫(x)=∞,img(x)=∞ imf(x)称为未定型极限“”型 x→<D lim [f(x)-g(x) ”未定型 x→<D lim lf(x)·g(x)“0·。”未定型 imn[f(x)(x)“1”“∞0”“00”未定型 x=2份20 4

2021/2/20 4 称为未定型极限 ( ) ( ) lim g x f x x→ “ ” 型 0 0 (1) 如果 lim f (x) = 0, lim g(x) = 0 (2) 如果 lim f (x) = , lim g(x) =  称为未定型极限 ( ) ( ) lim g x f x x→ “ ” 型   − “  −  ”未定型 → lim [ f (x) g(x)] x   “  ”未定型 → lim [ f (x) g(x)] 0 x  lim [ ( )] ( ) “1  ”“ 0 ”“0 0 ”未定型 → g x x f x 

型未定式的洛必达法则 定理1:设函数f(x)和g(x)在点a的某空心 邻域U0(a,δ肭有定义,且满足条件: (lim f()=0, lim g(x)=0; x→a x→a (2)在U(a,8内∫(x)和g(x)存在,且g(x)≠0; (3)mf(x) =A(或∞),则有 x→ag(x) im(x)=mf(x)=A(或∞) x→ g(x) x→ag(x) 2021/220

2021/2/20 5 邻 域 内有定义 且满足条件： 设函数 和 在 点 的某空心 ( , ) , ( ) ( ) U0 a  f x g x a (或 ), 则 有 ( ) ( ) (3)lim =    → A g x f x x a ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim =    = → → A 或 g x f x g x f x x a x a (2) ( , ) , ( ) ( ) , ( ) 0; 在U0 a  内 f  x 和 g x 存 在 且 g x  (1)lim ( ) = 0, lim ( ) = 0; → → f x g x x a x a 定理1： 二、 “ 型未定式的洛必达法则 ” 0 0

证]首先证明:Iim=A g(x) 利用柯西定理证明.引入辅助函数 F(xf(x)当x≠l时 0当x=a时 G(x)= ∫g(x)当x≠l时 0当=a时 在区间a,a+δ内任取一点x,考虑 闭区间a,x 2021/2/20 6

2021/2/20 6 A g x f x x a = → + ( ) ( ) 首先证明：lim    =  = 当 时 当 时 x a f x x a F x 0 ( ) ( )    =  = 当 时 当 时 x a g x x a G x 0 ( ) ( ) [ , ]. [ , ) , a x a a x 闭区间 在区间 +  内任取一点 考 虑 [证] 利用柯西定理证明. 引入辅助函数

x a+s F(x)和G(x)在a,x止满足柯西定理条 件,于是在(a,x至少存在一点,使得 F(x)-F(a) F(5 (a<5<x) G(x)-G(a)G"(2) 因为F(a)=0,G(a)=0,又当x≠a时, (x)=f(x),G(x)=g(x),于是有 f(x)F(x)F'()f() a<c<x (x)G(x)G()g(5) 202l/2/2

2021/2/20 7 件 于是在 内至少存在一点 使 得 和 在 上满足柯西定理条 , ( , ) , ( ) ( ) [ , ] a x  F x G x a x a  x a + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a x G F G x G a F x F a     = − −    于是有 因 为 又 当 时 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 0, ( ) 0, , F x f x G x g x F a G a x a = = = =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a x g f G F G x F x g x f x     =   = =     

令x→a,则ξ→a+,在上式两边 取极限得 lim f(x) f(5)=A x→ag(x)→a+g'(4) 同理可证 lim f(r x→ag(x) 于是证明了mf(x)=imnC"(x)=A 2021/2/20 x→ag(x)x→ng(x)

2021/2/20 8 取极限 得 令 则 在上式两边 , , , → + → + x a  a A g f g x f x x a a =   = → + → + ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim    A g x f x x a = → − ( ) ( ) lim 同理可证 A g x f x g x f x x a x a =   = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) 于是证明了 lim

lim/(x) =0→lim f(x) =∞的证明 x→a g(x) x→ g(x) 只需证VG>0,6>0,只要0a f'(x) =0→ x-a 8(r) VG>0,6>0,只要0G 2021/2/20 g(x)

2021/2/20 9 =   = 的证明   → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x x a x a 只需证 G g x f x  ( ) ( ) 就有 0, 0, 0 , G   G  只要  x −a   G G g x f x    ( ) ( ) 就 有 =     → ( ) ( ) lim g x f x x a 0, 0, 0 | | , G   G  只 要  x − a   G

因为F(a)=0,G(a)=0,又当x≠a时, F(x)=f(x),G(x)=g(x),于是有 利用柯西定理,有 f(x)_F(x)_F(x)-F(a)_f(5 g(x)G(x)G(x)G(a)g(5) 5介于x与之间f(G g() 于是,ⅤG>0,彐>0只要0G 证毕 2021/2/20 g()

2021/2/20 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   g f G x G a F x F a G x F x g x f x   = − − = = 利用柯西定理，有  介于x与a之间 G g f     ( ) ( )   于是有 因 为 又 当 时 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 0, ( ) 0, , F x f x G x g x F a G a x a = = = =  G g x f x  ( ) ( ) 就有 , 0, 0, 0 , 于是 G   G  只要  x −a   G 证毕