深圳大学：《工程数学》课程PPT教学课件（讲稿）复变函数与积分变换

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复变函数

复变函数

复数的运算 z=x+iy=reo x=rcos 0, y=rsin 0 x2+y2, tg0-, sin 0 2+y

3 复数的运算 2 2 2 2 1 e cos , sin , tg ,sin i i z x iy r x r y r y y r x y x x y      = − = + = = = = + = = +

计算幅角要注意在复平面所在的象限

4 计算幅角要注意z在复平面所在的象限 x y O

例1 3-2i 3-2 3+2(3+2i(3-2i)32+22 32 1313 3 13 13 13 13 6==actg 3

5 例 2 2 2 2 1 3 2 3 2 3 2 (3 2 )(3 2 ) 3 2 3 2 13 13 3 2 13 13 13 13 2 arctg 3 i i i i i i r − − = = + + − + = −     = + =           = −    

fargtg2. x>o x=0,y≠0 2 arg actg+,x<0,y≠0 x<0,y=0

6 argtg , 0; , 0, 0; 2 arg arctg , 0, 0; , 0, 0 y x x x y z y x y x x y          =   =          = 

复变函数的个重要方面,就是说明实 变函数的微积分的诉多结论,复变函数 也照样用 例如,在实变函数中函数的导数有 (x)=2x,( sin x)=cos x,(e- )=2e 则上面的变元统统改成复数z也成立 (z)=2z2, (sin z)=cosz, (e25)=2e

7 复变函数的一个重要方面, 就是说明实 变函数的微积分的许多结论, 复变函数 也照样用. 例如, 在实变函数中函数的导数有 3 2 2 2 ( ) 2 ,(sin ) cos ,(e ) 2e x x x x x x    = = = 则上面的变元x统统改成复数z也成立 3 2 2 2 ( ) 2 ,(sin ) cos ,(e ) 2e z z z z z z    = = =

在实变函数再些函数可以按泰级 1+x2 0 2<+ 11+x+e3 C n=0

8 在实变函数中, 一些函数可以按泰勒级 数展开, 例如 2 3 0 2 3 0 1 2 3! ! | | 1 1 1 | | 1 n x n n n x x x e x n z x x x x x x  =  = = + + + + =  + = + + + + = −   

在复变函数中结果也一样 2-3 n=0 K+oo =1+z+z+z 0

9 在复变函数中结果也一样: 2 3 0 2 3 0 1 2 3! ! | | 1 1 1 | | 1 n z n n n z z z e z n z z z z z z z  =  = = + + + + =  + = + + + + = −   

复变函数还可以展开为洛明级数如 1+z 23 n=0 042k+x 11 ,z|>1 10

10 复变函数还可以展开为洛朗级数, 如 2 3 3 3 3 0 2 2 3 1 1 , 2 3! ! 0 | | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , | | 1 z n n e z z z z z z n z z z z z z z z z z z  − =   = + + + + =       + −   = = − + + +   −   − = − − − −  