深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第10讲 连续型随机变量的分布

连续型随机变量的分布 一随机变量的分布函数是描述任何类型的随 机变量的变化规律的最一般的形式,但由于 它不够直观,往往不常用。 比如,对离散型随机变量,用概率函数来描 述即简单又直观 对于连续型随机变量也希望有一种比分布函 数更直观的描述方式 这就是今天要讲的“概率密度函数

2 连续型随机变量的分布 一随机变量的分布函数是描述任何类型的随 机变量的变化规律的最一般的形式，但由于 它不够直观，往往不常用。 比如，对离散型随机变量，用概率函数来描 述即简单又直观。 对于连续型随机变量也希望有一种比分布函 数更直观的描述方式。 这就是今天要讲的“概率密度函数

例8在区间[4,10上任意抛掷一个质点,用 表示这个质点和原点的距离,则是一随机变 量,如果这个质点落在[4,10上任一子区间内 的概率与这个区间的长度成正比,求的分布 函数 10 X

3 例8 在区间[4,10]上任意抛掷一个质点, 用x 表示这个质点和原点的距离, 则x是一随机变 量, 如果这个质点落在[4,10]上任一子区间内 的概率与这个区间的长度成正比, 求x的分布 函数. 4 10 x

解坷可以取[4,10]上的一切实数,即 4≤210}是一个必然事件,P{4≤10}=1, 若[c,dc[4,10],有P{c≤}=(-c),为比例 常数,特别地,取c=4,d=10, P{4≤210}=0104)=62=1,因此入=1/6 x<4 F(x)=P(≤x)=1k(x-4)4≤x<10 x≥10

4 解 x可以取[4, 10]上的一切实数, 即 {4x10}是一个必然事件, P{4x10}=1, 若[c,d][4,10], 有P{cxd}=(d-c), 为比例 常数, 特别地, 取c=4, d=10, P{4x10}=(10-4)=6=1, 因此=1/6.       -    =  = 1 10 ( 4) 4 10 6 1 0 4 ( ) ( ) x x x x F x P x x

F(x)的图形如下所示 x<4 F(x)=P≤x)=1 (x-4)4≤x<10 x≥10 F(x 0 10

5 F(x)的图形如下所示       -    =  = 1 10 ( 4) 4 10 6 1 0 4 ( ) ( ) x x x x F x P x x 0 F(x) 4 10 x

在这里, 分布函数F(x)是(-∞,+∞)上的一个非降有界的 连续函数,在整个数轴上没有一个跳跃点(可 见,对于这样的随机变量,它取任何一个具体 值的概率都是零).这就是这种类型的随机变 量被称作是连续型随机变量的原因 描述连续型随机变量当然不能够用概率函数 或者概率分布表但是使用分布函数F(x)同样 也是不很方便.因此,用概率密度函数来描述 连续型随机变量的分布

6 在这里， 分布函数F(x)是(-, +)上的一个非降有界的 连续函数， 在整个数轴上没有一个跳跃点(可 见, 对于这样的随机变量, 它取任何一个具体 值的概率都是零). 这就是这种类型的随机变 量被称作是连续型随机变量的原因. 描述连续型随机变量当然不能够用概率函数 或者概率分布表. 但是使用分布函数F(x)同样 也是不很方便. 因此, 用概率密度函数来描述 连续型随机变量的分布

定义对于连续型随机变量,如果存在一定 义在(-∞,+∞)上的非负函数(x,对于任意实 数x都有∞(x)>0,且满足,在任意区间内的 概率为(x)在此区间的积分,即 P(a≤5≤b)=q(xx 则称∞)为的概率密度函数

7 定义 对于连续型随机变量x, 如果存在一定 义在(-, +)上的非负函数(x), 对于任意实 数x都有(x)0, 且满足, x落在任意区间内的 概率为(x)在此区间的积分, 即    = b a P(a x b) (x)dx 则称(x)为x的概率密度函数

用概率密度函数计算ξ在任何区间内的概 率如下图所示意 p(x) P(a≤b b

8 用概率密度函数计算x落在任何区间内的概 率如下图所示意. 0 a b x (x) P(axb)

因此,概率密度函数的两个性质 一个是∞(x)≥0,另一个则是 p(x) p(xdx=1

9 因此, 概率密度函数的两个性质 一个是(x)0, 另一个则是 0 x (x) ( ) =1  + -  x dx

概率密度函数(x)与分布函数F(x)的关系为 (x) F(x)=P(≤x)=()dt 因此对于q(x)的一切连续点有 p(x)=F(r)

10 概率密度函数(x)与分布函数F(x)的关系为 0 x (x)  - =  = x F(x) P(x x) (t)dt x ( ) ( ) ( ) x F x x  =  因此对于 的一切连续点有

进一步剖析可得 olr) p(x)=lm P(x0 ∠x x+△o X 这表明(x)不是取值x的概率,而是它在x 点概率分布的密集程度

11 进一步剖析可得 0 x (x) x x+x x P x x x x x  x    ( ) ( ) lim 0   + = → 这表明(x)不是x取值x的概率, 而是它在x 点概率分布的密集程度