深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第12讲 随机变量函数的分布

随机变量函数的分布

2 随机变量函数的分布

随机变量的函数的分布 我们常常遇到一些随机变量,它们的分布往往 难于直接得到(如滚珠体积的测量值等),但是 与它们有关系的另一些随机变量,其分布却是 容易知道的(如滚珠直径的测量值).因此,要 研究随机变量之间的关系,从而通过它们之间 的关系,由已知的随机变量的分布求出与之有 关的另一个随机变量的分布

3 随机变量的函数的分布 我们常常遇到一些随机变量, 它们的分布往往 难于直接得到(如滚珠体积的测量值等), 但是 与它们有关系的另一些随机变量,其分布却是 容易知道的(如滚珠直径的测量值). 因此, 要 研究随机变量之间的关系, 从而通过它们之间 的关系, 由已知的随机变量的分布求出与之有 关的另一个随机变量的分布

定义2.10 设八x)是定义在随机变量ξ的一切可能值x的集 合上的函数.如果对于ξ的每一可能取值x,有 另一个随机变量n的相应取值y=fx).则称n为 的函数,记作=f(2 我们的任务是,如何根据的分布求出n的分布, 或由(51,2,…,)的分布求出7f(51,2,,)的 分布

4 定义 2.10 设f(x)是定义在随机变量x的一切可能值x的集 合上的函数. 如果对于x的每一可能取值x, 有 另一个随机变量h的相应取值y=f(x). 则称h为x 的函数, 记作h=f(x). 我们的任务是, 如何根据x的分布求出h的分布, 或由(x1 ,x2 ,…,xn )的分布求出h=f(x1 ,x2 ,…,xn )的 分布

)离散型随机变量函数的分布 如果相应的函数f(x)在给定的试验范围内是单 调函数或者存在反函数,则=f(2的分布是很 容易从的分布中求出来的,即当P=x)=P时, P(=f(x)=p;i=1,2

5 (一) 离散型随机变量函数的分布 如果相应的函数f(x)在给定的试验范围内是单 调函数或者存在反函数, 则h=f(x)的分布是很 容易从x的分布中求出来的, 即当P(x=xi )=pi时, P(h=f(xi ))=pi , i=1,2,…

例1测量一个正方形的边长,其结果是一个 随机变量ξ为简便起见把它看成是离散型 的,的分布如下表所示,求周长和面积 的分布律. 10 11 12 P 0.2 0.3 0.4

6 例1 测量一个正方形的边长, 其结果是一个 随机变量x(为简便起见把它看成是离散型 的), x的分布如下表所示, 求周长h和面积z 的分布律. x 9 10 11 12 P 0.2 0.3 0.4 0.1

解:根据题意知n和都是磁的函数, 74,-2因此而计算出如下的结果 10 12 P 0.2 0.3 0.4 0.1 77 36 40 44 48 P 0.2 0.3 0.4 0.1 81100 121 144 P 0.2 0.3 0.4 0.1

7 解: 根据题意知h和z都是x的函数, h=4x, z=x 2 ,因此而计算出如下的结果 x 9 10 11 12 P 0.2 0.3 0.4 0.1 z 81 100 121 144 P 0.2 0.3 0.4 0.1 h 36 40 44 48 P 0.2 0.3 0.4 0.1

例2的分布如下表所示,求是的分布 0 1.5 P 020.1 0.3 0.30.1 解此题与上题的不同在于ξ存在着取负数的 可能,而-1的平方与1的相同,因此,{2=1}的 事件是{2-1}和{-1}两个互斥事件的和,则 P{2=1}=P{1}+P{-1},最后结果如下表: 0 2.25 9 P 0.1 0.5 0.3 0.1

8 例2 x的分布如下表所示, 求x 2的分布 x -1 0 1 1.5 3 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 解 此题与上题的不同在于x存在着取负数的 可能, 而-1的平方与1的相同, 因此, {x 2=1}的 事件是{x=1}和{x=-1}两个互斥事件的和, 则 P{x 2=1}=P{x=1}+P{x=-1}, 最后结果如下表: x 2 0 1 2.25 9 P 0.1 0.5 0.3 0.1

例3一个仪器的长度由两个主要部件构成,其 总长度为此二部件之和,这两个部件的长度x 和h为两个相互独立的随机变量,其分布律如 下二表所示.求此仪器长度的分布律. 91011 767 P0.30.50.2 P0.40.6

9 例3 一个仪器的长度由两个主要部件构成, 其 总长度为此二部件之和, 这两个部件的长度x 和h为两个相互独立的随机变量, 其分布律如 下二表所示. 求此仪器长度的分布律. x 9 10 11 P 0.3 0.5 0.2 h 6 7 P 0.4 0.6

解设仪器的总长度为,5,n的可能取值的数对 及概率与相应的和如下面的表所示 91011 767 P0.30.50.2 P0.40.6 10101111 6 97 67 k+715161617171 P 0.120.180.20.30.080.12

10 解 设仪器的总长度为z, x,h的可能取值的数对 及概率与相应的和如下面的表所示 x 9 10 11 P 0.3 0.5 0.2 h 6 7 P 0.4 0.6 x 9 9 10 10 11 11 h 6 7 6 7 6 7 z=x+h 15 16 16 17 17 18 P 0.12 0.18 0.2 0.3 0.08 0.12

由此可计算出的分布率如下表所示 96 9101011 7676 17 5+n151616171718 P0120.802030080.12 1516 718 P0.120.380.380.12

11 由此可计算出z的分布率如下表所示. x 9 9 10 10 11 11 h 6 7 6 7 6 7 z=x+h 15 16 16 17 17 18 P 0.12 0.18 0.2 0.3 0.08 0.12 z 15 16 17 18 P 0.12 0.38 0.38 0.12