深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第13讲 随机变量的数字特征

第三章随机变量的数字特征 通常求出随机变量的分布并不是一件容 易的事,而人们更关心的是用一些数字 来表示随机变量的特点,这些与随机变 量有关的数字,就是随机变量的数字特 征.最常用的数字特征为数学期望,方差 和相关系数

2 第三章 随机变量的数字特征 通常求出随机变量的分布并不是一件容 易的事, 而人们更关心的是用一些数字 来表示随机变量的特点, 这些与随机变 量有关的数字, 就是随机变量的数字特 征. 最常用的数字特征为数学期望, 方差 和相关系数

3.1数学期望 数学期望是任何一个随机变量的最重要的也 被最广泛使用的数学特征,英文是 expectation, 另一种叫法为均值( mean or everage value) 它的实际意义就是平均值.但属于一种更为严 格的平均值,和本书后面讲到的统计平均值有 些小差别

3 3.1 数学期望 数学期望是任何一个随机变量的最重要的也 被最广泛使用的数学特征, 英文是expectation, 另一种叫法为均值(mean or everage value) 它的实际意义就是平均值. 但属于一种更为严 格的平均值, 和本书后面讲到的统计平均值有 一些小差别

首先从一个例子说起 假设一个班共20人,其中18岁的有6人,19 岁的有10人,20岁的有4人,现任取一人 观察其岁数,则观察到的岁数为一随 机变量,不难求出的分布率如下表所 小 18 19 20 P 6/2010/204/20

4 首先从一个例子说起 假设一个班共20人, 其中18岁的有6人, 19 岁的有10人, 20岁的有4人, 现任取一人 观察其岁数, 则观察到的岁数x为一随 机变量, 不难求出x的分布率如下表所 示. x 18 19 20 P 6/20 10/20 4/20

现在要计算这个班的学生的平均年龄 有两种计算办法,第一种办法是将这个班的学 生的每个人的年龄加起来,再除以这个班的人 数20人,即6个18岁,10个19岁,4个20岁加起来 得平均年龄为 6×18+10×19+4×20 E 20 10 ×18+一×19+一×20 20 20 20 =18D1s+1919+20p20

5 现在要计算这个班的学生的平均年龄 有两种计算办法, 第一种办法是将这个班的学 生的每个人的年龄加起来, 再除以这个班的人 数20人, 即6个18岁, 10个19岁, 4个20岁加起来 得平均年龄为 18 1 8 19 1 9 20 2 0 20 20 4 19 20 10 18 20 6 20 6 18 10 19 4 20 p p p E = + + =  +  +   +  +  x =

第二种办法是统计的办法,实际情况更有用 就是通过对随机变量κ进行一遍又一遍地重复 试验,假设这试验一共做了m次,而获得了 18,19,20这三个年龄的次数分别为n1,n19,m20 次,则将这n次试验所获得的年龄数统统加起 来除以n就是统计平均的年龄 E18×n1+19×920×129= 18 18+19 9+20=20 ≈18p18+19D19+20P20

6 第二种办法是统计的办法, 实际情况更有用 就是通过对随机变量x进行一遍又一遍地重复 试验, 假设这试验一共做了n次, 而获得了 18,19,20这三个年龄的次数分别为n18, n19, n20 次, 则将这n次试验所获得的年龄数统统加起 来除以n就是统计平均的年龄 1 8 1 9 2 0 1 8 1 9 2 0 1 8 1 9 2 0 18 19 20 18 19 20 18 19 20 p p p n n n n n n n n n n  + + = + + =  +  +  x =

当然,统计平均值ξ与准确计算的平均值Eξ还 可能有差距,但是当试验次数趋向于无穷时, 统计平均值就趋近于数学期望E了

7 当然, 统计平均值x与准确计算的平均值Ex还 可能有差距, 但是当试验次数趋向于无穷时, 统计平均值x就趋近于数学期望Ex了

定义3.1假设离散型随机变量ξ有概率函数 P{2xk}Pk(k=-1,2,),若级数 k pk k=1 绝对收敛,则称这级数为的数学期望,简称期 望或均值,记为E,即 E&= kpk k=1

8 定义 3.1 假设离散型随机变量x有概率函数 P{x=xk}=pk (k=1,2,...), 若级数 绝对收敛, 则称这级数为x的数学期望, 简称期 望或均值, 记为Ex, 即   k =1 k k x p   = = k 1 k k Ex x p

关于数学期望的一个力学上的解释,在坐标轴 上的 ,等点处放置质量为p1yD2的质点, 则数学期望处为整个质点体系的重心 E D

9 关于数学期望的一个力学上的解释, 在坐标轴 上的x1 ,x2 ,...,等点处放置质量为p1 ,p2 ,...的质点, 则数学期望处为整个质点体系的重心. x1 x2 x3 p1 p2 p3 Ex

例1若ξ服从0-1分布,其概率函数为 P{=k}=p(1-)1-k(k=0,1),求E 解E2-0×(1-p)+1xp=p

10 例1 若x服从0-1分布, 其概率函数为 P{x=k}=p k (1-p) 1-k (k=0,1), 求Ex 解 Ex=0(1-p)+1p=p o 1 x p p 1-p

例2甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用 ,表示)的分布律如下表所示,试比较甲,乙 两射手的技术 7123 P0.40.10.5 P0.10.603 解E21×0.4+2×0.1+3×0.5-2.1 E71×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2 这表明,如果进行多次射击,他们得分的平均 值分别是2.1和22,故乙射手较甲射手的技术 好

11 例2 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用 x,h表示)的分布律如下表所示, 试比较甲,乙 两射手的技术. 解 Ex=10.4+20.1+30.5=2.1 Eh=10.1+20.6+30.3=2.2 这表明, 如果进行多次射击, 他们得分的平均 值分别是2.1和2.2, 故乙射手较甲射手的技术 好. x 1 2 3 P 0.4 0.1 0.5 h 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3