深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第17讲 协方差的计算

协方差的计算 在已知两个随机变量和r的联合分布的情况下怎 样计算它们的协方差cov(,m)呢,这一点书上并没 有明讲 cov(S,nFEIS-Es(nenI 4Em升+EEn7= -E(Sn-ESEn-enEStESer -E(En-ESEn 即相乘的均值减去均值的相乘 其中Eξ和E是通过边缘分布计算的,因此关键是如 何计算E(m)

2 协方差的计算 在已知两个随机变量x和h的联合分布的情况下怎 样计算它们的协方差cov(x,h)呢, 这一点书上并没 有明讲. cov(x,h)=E[(x-Ex)(h-Eh)]= =E[xh-xEh-hEx+ExEh]= =E(xh)-ExEh-EhEx+ExEh= =E(xh)-ExEh 即相乘的均值减去均值的相乘. 其中Ex和Eh是通过边缘分布计算的, 因此关键是如 何计算E(xh)

对于离散型随机变量,假设,n的概率函数为 P(5=x,=y)=P12(ij=1,2,,则 E(m)= ciVil 对于连续型随机变量,假设苧,的联合概率密 度为(x,y),则 ∞+∞ E(5m=xyo(x, y)dydx

3 对于离散型随机变量, 假设x,h的概率函数为 P(x=xi ,h=yj )=pij, (i,j=1,2,...),则 =  i j i j pi j E(x h) x y   + - + - E(x h) = x y(x, y)dydx 对于连续型随机变量, 假设x,h的联合概率密 度为(x,y), 则

例假设ξ,的联合概率函数如下表所示 0 1/3 0 1/12 1/3 0 1/6 0 5/12 0 0 E(2m)=(-1)×0×0+(-1)××+(-1)×1× 312 +0×0×-+0×-×0+0×1×0 5 13 +2×0×一+2×-×0+2×1×0 12 36

4 例 假设x,h的联合概率函数如下表所示 x h 0 1/3 1 -1 0 1/12 1/3 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0 36 13 0 2 1 0 3 1 2 12 5 2 0 0 0 1 0 3 1 0 6 1 0 0 3 1 ( 1) 1 12 1 3 1 ( ) ( 1) 0 0 ( 1) +   +   +   = - +   +   +   E x h = -   + -   + -  

而与与n的边缘分布及数学期望为 0 2 P 5/12165/12 77 0 1/3 P7/121/121/3 5105 1113 则E= E7= 121212 36336 cov(S, n=E(Sn-eSEn 13513 221 361236432

5 而x与h的边缘分布及数学期望为: x -1 0 2 P 5/12 1/6 5/12 h 0 1/3 1 P 7/12 1/12 1/3 432 221 36 13 12 5 36 13 cov( , ) ( ) 36 13 3 1 36 1 , 12 5 12 10 12 5 = - -  = - = - = = - + = = + = x h x h x h x h E E E 则E E

在研究任何连续型随机变量的概率密度函数 x)的时候,通常可将其表示为(x)=k(x)的形 式,其中fx)表示了以(x)的形状,而系数k的作用 则是为了保证∞(x)的性质 +∞O ∫o(x)dk=1因此知道了f(x)系数k也可求得 假设=∫f(x),则k=,即(x)=f(x) 则|@(x)bx=-「f(x) x

6 在研究任何连续型随机变量的概率密度函数 (x)的时候, 通常可将其表示为(x)=kf(x)的形 式, 其中f(x)表示了(x)的形状, 而系数k的作用 则是为了保证(x)的性质 ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 , ( ) 1 ( ) , ( ) 1, ( ) , = = = = = = =     + - + - + - + - s s f x dx s x dx f x s x s s f x dx k x dx f x k    则 假设 则 即 因此知道了 系数 也可求得

因此我们在研究不同类型的连续型随机变量 时,焦点放在它的形状函数f(x)上 f(x) 面积为s p(x)=f(x)s 面积为1

7 因此我们在研究不同类型的连续型随机变量 时, 焦点放在它的形状函数f(x)上 x f(x) 面积为s x (x)=f(x)/s 面积为1

例如,假如我们知道了一随机变量的概率密度 的形状函数为x)=e,(x>0,>0,我们就已经 知道它是服从指数分布了,则以(x)=kf(x),而k不 难求得为 +oO k=1/edx=n 0

8 例如, 假如我们知道了一随机变量的概率密度 的形状函数为f(x)=e -lx ,(x>0, l>0), 我们就已经 知道它是服从指数分布了, 则(x)=kf(x), 而k不 难求得为 l l = =  + - 0 k 1 e dx x

厂分布 所谓厂分布的概率密度函数的形状是这样的, 它在x≤0时取0值,而在x>0时为x的某次方乘上 指数函数e,即它的形状函数x)=xek 但通常令其中的参数a=r-1,即r=a+1,即将fx) 写成(x)=x-e的形式,这虽然只是一个人为 的规定,但是有一个好处就是,后面我们将证 明,厂分布的数学期望为x-1r, 方差为-2r,且两个4参数相同的都服从F分 布的随机变量的和也服从厂分布,和的分布中 的r参数正好是两个随机变量的r参数之和

9 G-分布 所谓G-分布的概率密度函数的形状是这样的, 它在x0时取0值, 而在x>0时为x的某次方乘上 指数函数e -lx , 即它的形状函数f(x)=x ae -lx , 但通常令其中的参数a=r-1, 即r=a+1, 即将f(x) 写成f(x)=x r-1e -lx的形式, 这虽然只是一个人为 的规定, 但是有一个好处就是, 后面我们将证 明, G-分布的数学期望为l -1r, 方差为l -2 r, 且两个l参数相同的都服从G-分 布的随机变量的和也服从G-分布, 和的分布中 的r参数正好是两个随机变量的r参数之和

因此,如随机变量ξ服从厂分布,则它的概率 密度函数为(x)=klea,(x>0)的形式,下面 求常数因子k 计算积分S=|xedx,则k 0 上面的积分中令t=4x,则dt=入dlx, X x,dx=1a因此 te dt=T(r) 0

10 因此, 如随机变量x服从G-分布, 则它的概率 密度函数为(x)= kxr-1e -lx , (x>0)的形式, 下面 求常数因子k. ( ) 1 1 1 1 , , , , 1 , 0 1 0 1 1 0 1 e dt t e dt r t s dx dt t x t x dt dx s s x e dx k r r t r t r r r x G l l l l l l l l l = = = = = = = = =    + - - + - - - + - - 因此 上面的积分中令 则 计算积分 则

其中 ()=「xe被称为厂—函数 因此,就有定义如下 定义45如果连续型随机变量ξ具有概率密度 x>0 0(x)={r() 0,r>0,则称服从厂-分布 记作ξ~I(2,r)

11 其中 因此, 就有定义如下: 定义4.5 如果连续型随机变量x具有概率密度 =  被称为 -函数 + - - G G 0 1 (r) x e dx r x ~ ( , ) 0, 0, 0 0 0 ( ) ( ) 1 r r x x e x x r r x r x G l l x G G l  l 记作 其中   则称 服从 -分布        = - -