深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第22讲 区间估计

区间估计

2 区间估计

基本概念 用点估计来估计总体参数,即使是无偏有效的 估计量,也会由于样本的随机性,从一个样本 算得估计量的值不一定恰是所要估计的参数 真值.而且,即使真正相等,由于参数值本身是 未知的,也无从肯定这种相等.到底二者相差 多少呢?这个问题换一种提法就是,根据估计 量的分布,在一定的可靠程度下,指出被估计 的总体参数所在的可能数值范围.这就是参数 的区间估计问题

3 基本概念 用点估计来估计总体参数, 即使是无偏有效的 估计量, 也会由于样本的随机性, 从一个样本 算得估计量的值不一定恰是所要估计的参数 真值. 而且, 即使真正相等, 由于参数值本身是 未知的, 也无从肯定这种相等. 到底二者相差 多少呢? 这个问题换一种提法就是, 根据估计 量的分布, 在一定的可靠程度下, 指出被估计 的总体参数所在的可能数值范围. 这就是参数 的区间估计问题

区间估计的具体做法是,找两个统计量 0(x1,…,Xn)与O2(X1,…,2),使 P(61<6<62)=1-a 区间(,2)称为置信区间, 2和日分别称为置信区间的上,下限 1-a为置信系数,a称作检验水平 通常a=5%或1%

4 区间估计的具体做法是, 找两个统计量 5% 1% 1 , , , ˆ ˆ ) , ˆ , ˆ ( ) 1 ˆ ˆ ( ( , , ), ˆ ( , , ) ˆ 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 通常 或 为置信系数 称作检验水平 和 分别称为置信区间的上 下限 区间 称为置信区间 与 使 = −   = −              P X  Xn X  X

区间估计示意图 d2 2 1-α为置信系数,置信概率或置信度 Q为检验水平

5 区间估计示意图 1− /2 /2 1 ˆ  2 ˆ  1−为置信系数, 置信概率或置信度 为检验水平

总体期望值E-的区间估计 第一种情形:方差已知,对E进 行区间估计

6 总体期望值Ex的区间估计 第一种情形: 方差已知, 对Ex进 行区间估计

1.总体分布未知 利用切贝谢夫不等式进行估计.在第五章中, 曾提到对任何随机变量ξ不论它的分布如何) 只要ED存在,对任给的正数>0,满足 P(5-E5k4)≥1-05 或 P(E-5a)1-D5

7 1. 总体分布未知 利用切贝谢夫不等式进行估计. 在第五章中, 曾提到对任何随机变量x(不论它的分布如何), 只要Ex,Dx存在, 对任给的正数e>0, 满足 2 2 (| | ) 1 (| | ) 1 e x x x e e x x x e D P E D P E −   − −   − 或

从总体抽取样本(X1,X2,…,和) 令X X1,则EX=EE,DFD5 DX P(EX-Xk)≥1 DX 即P(-E<EX-X<e)≥1 或P(X-E<EX<X+8)2/D 2 P(-E<E<X+6)212

8 从总体x中抽取样本(X1 ,X2 ,...,Xn ), 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (| | ) 1 , , 1 e x e x e e e e e e e e e x x n D P X E X DX P X EX X DX P EX X DX P EX X n D X EX E DX n X n i i −   +  − −   +  − −  −   − −   − =  = = = 或 即 令 则

若要求 P(X-8<E5<X+e)÷1D2=95 DE 即1 =0.95=1-0.05 即2=00.解得aD V0.05n 因此有 D D P(X <E<X+ )≥95% 0.05n V0.05n

9 若要求 ) 95% 0.05 0.05 ( 0.05 0.05, 1 0.95 1 0.05, ( ) 1 95% 2 2 2 −   +  = = − = = − −   +  − = n D E X n D P X n D n D n D n D P X E X x x x x e e x e x e x e x e 因此有 即 解得 即

般地,若要求 P(X-8<E5X+)1D =1-C C D5=1-O, D 卩鸟=a,解得E D C 因此有 P(D∠E<F+D )≥1-a C C

10 一般地, 若要求   x x  x  x  e e x  e x  e x e x e −   +  − = = − = − −   +  − = − ( ) 1 , 1 1 , ( ) 1 1 2 2 2 n D E X n D P X n D n D n D n D P X E X 因此有 即 解得 即

切贝谢夫区间估计示意图 d2 2 D D an an

11 切贝谢夫区间估计示意图 1− /2 /2 n D X  x − n D X  x + X