深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第16讲 超几何分布

超几何分布

2 超几何分布

例1某班有学生23名,其中有5名女同学,今从 班上任选4名学生去参观展览,被选到的女同 学数ξ是一个随机变量,求的分布 解坷可取0,1,2,3,4,这5个值,相应概率为 k/4-k P(5=k)==43(k=0,,2,3,4) 20

3 例1 某班有学生23名, 其中有5名女同学, 今从 班上任选4名学生去参观展览, 被选到的女同 学数x是一个随机变量, 求x的分布. 解 x可取0,1,2,3,4,这5个值, 相应概率为 ( ) ( 0,1,2,3,4) 4 2 0 4 5 1 5 = = = − k C C C P k k k x

概率分布表为 0 P0.28170.4696021670.031000310 概率分布图为: 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 P 0.2 0.15 0.05 0 4

4 概率分布表为 x 0 1 2 3 4 P 0.2817 0.4696 0.2167 0.0310 0.0310 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 1 2 3 4 P 概率分布图为:

定义设N个元素分为两类,有M个元素属于第 一类,N2个元素属于第二类(N+N2=M.从中按 不重复抽样取n个,令表示这n个中第一(或二 类元素的个数,则的分布称为超几何分布.其 概率函数为: Cnc P(与 -m)= (m=0,1,…,n N 规定,如果n<r,则Cn=0

5 定义 设N个元素分为两类, 有N1个元素属于第 一类, N2个元素属于第二类(N1+N2 =N). 从中按 不重复抽样取n个, 令x表示这n个中第一(或二) 类元素的个数, 则x的分布称为超几何分布. 其 概率函数为: , , 0 ( ) ( 0,1, , ) 1 2  = = = = − r n n N n m N m N n r C m n C C C P m 规定 如果 则 x 

根据概率分布的性质,必有 P(=m)=1, m=0 m n-m 即 MN m=0 N CM cn ≈/n N1+N2 m=0

6 根据概率分布的性质, 必有 n N N n m n m N m N n m n N n m N m N n m C C C C C C P m 1 2 1 2 1 2 0 0 0 1, ( ) 1, + = − = − = = = = =    即 x

和二项分布相比 项分布是放回抽样,而超几何分布是不放回 抽样 当在不放回抽样时,超几何分布中的N1N相当 于二项分布中的参数,MN相当于二项分布 中的q=1-p 超几何分布也可以和二项分布一样看作是n个 0-1分布的随机变量的和,=1,2,,n,与表示第 i次抽样抽到第一类元素的事件的次数,根据 抽签原理P(=1)=N1/N,但如果,与与相互 之间是不独立的

7 和二项分布相比, 二项分布是放回抽样, 而超几何分布是不放回 抽样. 当在不放回抽样时, 超几何分布中的N1 /N相当 于二项分布中的参数p, N2 /N相当于二项分布 中的q=1−p. 超几何分布也可以和二项分布一样看作是n个 0-1分布的随机变量xi的和, i=1,2,...,n, xi表示第 i次抽样抽到第一类元素的事件的次数, 根据 抽签原理P(xi=1)=N1 /N, 但如果ij, xi与xj相互 之间是不独立的

计算超几何分布的数学期望 因为可看作n个相互并不独立但仍然服从同 样的0-1分布的随机变量51,2…,n的和 =51+52+…+m,其中 E1=p=,i=1,2,,n N 因此E=(5=∑E5=m2=nN 可以认为超几何分布的数学期望与二项分布 的一样

8 计算超几何分布的数学期望 因为x可看作n个相互并不独立但仍然服从同 样的0-1分布的随机变量x1 ,x2 ,...,xn的和, x=x1+x2+...+xn , 其中 N N E E E np n i n N N E p n i i n i i i 1 1 1 1 , 1,2, ,  = = =      = = = =   = = x x x x 因此  可以认为超几何分布的数学期望与二项分布 的一样

计算磁的方差 因ξ服从0-1分布,则2也服从同样的0-1分布 则E2=N1N=E,当法时,5也服从0-1分布, P(5;=1) N1(N1-1) N(N-1) 而E2=E(51+…+5n)2 E(5151+5122+…+519n+ +9251+5252+…+925n+ +n51+n2+…+5n9n)

9 计算x的方差 因xi服从0-1分布, 则xi 2也服从同样的0-1分布, 则Exi 2=N1 /N=Exi , 当ij时, xixj也服从0-1分布, ) ( ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 n n n n n n n i j E E E N N N N P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + = + + + + = + + = − − = =     而 = Exi

因此 N E=n+(n2-n) N1(N1-1) N N(N-1) D2=E2-(E2)2= Ny+(n-n) N,(N,-1) N N(N-1) N M N-n M-n NNN=npq N-1

10 因此 1 1 ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 − − = − − =    − − − = + − = − = − − = + − N N n npq N N n N N N N n N N n N N N N n n N N n D E E N N N N n n N N E n x x x x

也可以直接用定义来计算E和D 1-n E5=∑mP(=m)=∑m MN 0 N,! n-m m= m!(N-m)!2 N (1-1) CMm(m-1)(M1-m)! 令k=m-1则 N n-1-k N E n-1 N-1 nk=0 N N

11 也可以直接用定义来计算Ex和Dx N N C n C N C C C N E k m C m N m N C N C m N m N m C C C C E m P m m n n N N n k N n k k n N N n m n m n N N n m n m n N N n m n N n m N m N n m 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 2 2 2 1 2 1 ( 1)!( )! ( 1)! !( )! 1 ! ( ) = = = = −  − − − =  − =  = = = = − − − − − = − = − = − = − =      x x x 令 则